Propriété d'absence de mémoire (sans vieillissement) de la loi exponentielle

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Complémentaires

À retenir

• **Définition mathématique** : Pour tous s, t 0 : P(X > s + t X > s) = P(X > t) • **Démonstration** : P(X > s + t X > s) = P(X > s + t)/P(X > s) = e^-(s+t)e^- s = e^- s e^- te^- s = e^- t = P(X > t) • **Interprétation** : L'état d'usure passé n'influe pas sur la durée de vie résiduelle.

Le cours

1. Énoncé Soit X une variable aléatoire de loi exponentielle E(). Pour tous réels positifs s et t : P_X > s(X > s + t) = P(X > t) Un appareil qui a déjà fonctionné sans panne pendant la durée s a la même probabilité de fonctionner encore pendant la durée t qu'un appareil neuf : on parle de durée de vie sans vieillissement. Parmi les lois à densité, la loi exponentielle est la seule à avoir cette propriété. 2. Démonstration 1. L'événement (X > s + t) est inclus dans (X > s), donc P_X > s(X > s + t) = P(X > s + t)/P(X > s). 2. Avec P(X > a) = e^- a : le quotient vaut e^- (s + t)e^- s = e^- t. 3. Or e^- t = P(X > t). 3. Contre-exemple et limite du modèle La loi uniforme n'a pas cette propriété : pour X uniforme sur [0\,;\,15], P_X > 5(X > 10) = 1/2 alors que P(X > 5) = 2/3. Pour une pièce qui s'use (pneu, roulement), le passé compte : la loi exponentielle n'est alors pas un bon modèle.

Dans ce chapitre

• Schéma de Bernoulli et variables aléatoires de Première
• Variables aléatoires discrètes, espérance et variance de Première
• Loi binomiale : coefficients binomiaux, paramètres n et p de Première
• Loi exponentielle et durée de vie sans vieillissement
• Loi normale et intervalles caractéristiques
• Densité de probabilité d'une variable aléatoire continue sur un intervalle
• Loi uniforme sur un intervalle [a, b]
• Fonction de densité et fonction de répartition de la loi exponentielle
• Espérance mathématique de la loi exponentielle et applications à la fiabilité
• Propriété d'absence de mémoire (sans vieillissement) de la loi exponentielle
• Loi normale centrée réduite N(0, 1)
• Loi normale générale N(, ^2) et intervalles caractéristiques
• Applications des lois continues à la gestion des risques et au contrôle qualité
• Bilan : Synthèse et méthode sur Lois de probabilités discrètes et continues