Loi uniforme sur un intervalle [a, b]

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Complémentaires

À retenir

Pour X U(a, b) : • **Densité** : f(x) = 1/b - a pour x [a ; b]. • **Probabilité d'un sous-intervalle** [c ; d] [a ; b] : P(c X d) = d - c/b - a • **Espérance mathématique** : E(X) = a + b/2 (centre de l'intervalle). • **Variance** : V(X) = (b - a)^2/12.

Le cours

1. Définition Soit a loi uniforme sur [a\,;\,b], notée U([a\,;\,b]), si sa densité est constante sur cet intervalle : f(x) = 1/b - a pour x [a\,;\,b] La courbe de f est un segment horizontal : l'aire du rectangle de base b - a et de hauteur 1/b-a vaut bien 1. 2. Probabilités et espérance Pour [c\,;\,d] [a\,;\,b], l'aire sous la courbe est celle d'un rectangle : P(c X d) = d - c/b - a. La probabilité est proportionnelle à la longueur de l'intervalle, quelle que soit sa position. L'espérance est le milieu de l'intervalle : E(X) = a + b/2. 3. Mini-exemple Si X suit la loi uniforme sur [2\,;\,10] : P(X 5) = 5 - 2/10 - 2 = 3/8 = 0,375 et E(X) = 2 + 10/2 = 6. 4. Attention Hors de [a\,;\,b], la probabilité est nulle : on ne garde que la partie de l'intervalle demandé qui est incluse dans [a\,;\,b].

Dans ce chapitre

• Schéma de Bernoulli et variables aléatoires de Première
• Variables aléatoires discrètes, espérance et variance de Première
• Loi binomiale : coefficients binomiaux, paramètres n et p de Première
• Loi exponentielle et durée de vie sans vieillissement
• Loi normale et intervalles caractéristiques
• Densité de probabilité d'une variable aléatoire continue sur un intervalle
• Loi uniforme sur un intervalle [a, b]
• Fonction de densité et fonction de répartition de la loi exponentielle
• Espérance mathématique de la loi exponentielle et applications à la fiabilité
• Propriété d'absence de mémoire (sans vieillissement) de la loi exponentielle
• Loi normale centrée réduite N(0, 1)
• Loi normale générale N(, ^2) et intervalles caractéristiques
• Applications des lois continues à la gestion des risques et au contrôle qualité
• Bilan : Synthèse et méthode sur Lois de probabilités discrètes et continues