Loi normale générale N(, ^2) et intervalles caractéristiques

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Complémentaires

À retenir

• **Standardisation (centrage et réduction)** : Z = X - / N(0, 1). • **Symétrie** : La courbe est symétrique par rapport à la moyenne : P(X ) = P(X ) = 0,5. • **Intervalles de dispersion caractéristiques** : - P( - X + ) 68,3\% - P( - 1,96 X + 1,96) 95,0\% - P( - 2 X + 2) 95,4\% - P( - 3 X + 3) 99,7\%.

Le cours

1. Définition et paramètres Une variable aléatoire X suit la loi normale N(, ^2) si Z = X - / suit la loi N(0, 1). On a alors E(X) = et (X) = ; le second paramètre ^2 est la variance. La courbe en cloche est symétrique par rapport à la droite d'équation x = . Changer la translate horizontalement ; augmenter l'aplatit et l'élargit. 2. Intervalles caractéristiques Pour toute loi normale, quelles que soient les valeurs de et : P( - X + ) 0,683 De même P( - 2 X + 2) 0,954, P( - 1,96 X + 1,96) 0,95 et P( - 3 X + 3) 0,997. 3. Mini-exemple La taille X (en cm) d'adultes suit N(170\,;\,36), donc = 6. Comme 164 = 170 - 6 et 176 = 170 + 6, environ 68\ \% des adultes mesurent entre 164 et 176 cm, et environ 95\ \% entre 158 et 182 cm.

Dans ce chapitre

• Schéma de Bernoulli et variables aléatoires de Première
• Variables aléatoires discrètes, espérance et variance de Première
• Loi binomiale : coefficients binomiaux, paramètres n et p de Première
• Loi exponentielle et durée de vie sans vieillissement
• Loi normale et intervalles caractéristiques
• Densité de probabilité d'une variable aléatoire continue sur un intervalle
• Loi uniforme sur un intervalle [a, b]
• Fonction de densité et fonction de répartition de la loi exponentielle
• Espérance mathématique de la loi exponentielle et applications à la fiabilité
• Propriété d'absence de mémoire (sans vieillissement) de la loi exponentielle
• Loi normale centrée réduite N(0, 1)
• Loi normale générale N(, ^2) et intervalles caractéristiques
• Applications des lois continues à la gestion des risques et au contrôle qualité
• Bilan : Synthèse et méthode sur Lois de probabilités discrètes et continues