Espérance mathématique de la loi exponentielle et applications à la fiabilité

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Complémentaires

À retenir

Pour X E() : • **Espérance mathématique** : E(X) = 1/. • **Lien inverse** : = 1/E(X). • **Demi-vie (médiane m)** : P(X m) = 0,5 1 - e^- m = 0,5 m = (2)/ = E(X) (2) 0,693 \, E(X)

Le cours

1. Espérance de la loi exponentielle Si X suit la loi exponentielle E(), son espérance vaut : E(X) = 1/ donc = 1/E(X) Connaître la durée de vie moyenne suffit donc à déterminer la loi. 2. Interprétation en fiabilité En fiabilité, X est la durée de fonctionnement d'un appareil avant sa première panne. Le paramètre est le taux de défaillance, supposé constant, et E(X) est la durée moyenne de bon fonctionnement (souvent notée MTBF dans l'industrie). La probabilité de fonctionner au-delà de la durée moyenne vaut toujours P(X > E(X)) = e^-1 0,37 : environ deux appareils sur trois tombent en panne avant la durée moyenne. 3. Mini-exemple Une batterie a une durée de vie moyenne de 4 ans : = 1/4 = 0,25 par an. La probabilité qu'elle dure plus de 2 ans est e^-0,25 2 = e^-0,5 0,607. Sa durée médiane vaut 4 2 2,8 ans, inférieure à la moyenne.

Dans ce chapitre

• Schéma de Bernoulli et variables aléatoires de Première
• Variables aléatoires discrètes, espérance et variance de Première
• Loi binomiale : coefficients binomiaux, paramètres n et p de Première
• Loi exponentielle et durée de vie sans vieillissement
• Loi normale et intervalles caractéristiques
• Densité de probabilité d'une variable aléatoire continue sur un intervalle
• Loi uniforme sur un intervalle [a, b]
• Fonction de densité et fonction de répartition de la loi exponentielle
• Espérance mathématique de la loi exponentielle et applications à la fiabilité
• Propriété d'absence de mémoire (sans vieillissement) de la loi exponentielle
• Loi normale centrée réduite N(0, 1)
• Loi normale générale N(, ^2) et intervalles caractéristiques
• Applications des lois continues à la gestion des risques et au contrôle qualité
• Bilan : Synthèse et méthode sur Lois de probabilités discrètes et continues