Fonction de densité et fonction de répartition de la loi exponentielle

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Complémentaires

À retenir

Pour X E() avec > 0 et t 0 : • **Densité de probabilité** : f(t) = e^- t. • **Fonction de répartition** : F(t) = P(X t) = 1 - e^- t. • **Probabilité de survie** : P(X > a) = e^- a. • **Probabilité sur un intervalle** [a ; b] : P(a X b) = e^- a - e^- b

Le cours

1. Densité de la loi exponentielle Soit > 0. Une variable aléatoire X à valeurs dans [0\,;\,+[ suit la loi exponentielle de paramètre , notée E(), si sa densité est f(t) = e^- t pour t 0. La courbe part de la valeur f(0) = et décroît vers 0 : les petites durées sont les plus probables. 2. Fonction de répartition Pour t 0, une primitive de e^- x est -e^- x, donc : F(t) = P(X t) = _0^t e^- x\,dx = 1 - e^- t On en déduit la probabilité de survie P(X > t) = e^- t et, pour 0 a b, P(a X b) = e^- a - e^- b. 3. Mini-exemple Si X E(0,1) : P(X > 10) = e^-1 0,368 et P(X 10) = 1 - e^-1 0,632 ; la somme vaut bien 1. 4. Attention s'exprime dans l'inverse de l'unité de temps (par exemple en h^-1) : t doit être sans unité, donc t et doivent utiliser la même unité de temps.

Dans ce chapitre

• Schéma de Bernoulli et variables aléatoires de Première
• Variables aléatoires discrètes, espérance et variance de Première
• Loi binomiale : coefficients binomiaux, paramètres n et p de Première
• Loi exponentielle et durée de vie sans vieillissement
• Loi normale et intervalles caractéristiques
• Densité de probabilité d'une variable aléatoire continue sur un intervalle
• Loi uniforme sur un intervalle [a, b]
• Fonction de densité et fonction de répartition de la loi exponentielle
• Espérance mathématique de la loi exponentielle et applications à la fiabilité
• Propriété d'absence de mémoire (sans vieillissement) de la loi exponentielle
• Loi normale centrée réduite N(0, 1)
• Loi normale générale N(, ^2) et intervalles caractéristiques
• Applications des lois continues à la gestion des risques et au contrôle qualité
• Bilan : Synthèse et méthode sur Lois de probabilités discrètes et continues