Schéma de Bernoulli et variables aléatoires de Première

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Complémentaires

À retenir

• Épreuve de Bernoulli : deux issues, succès de probabilité p et échec de probabilité 1 - p. • Loi de Bernoulli : X vaut 1 ou 0, avec E(X) = p et V(X) = p(1-p). • Schéma de Bernoulli : n épreuves identiques et indépendantes ; le nombre de succès suit B(n, p). • P(X = k) = nk p^k (1-p)^n-k, E(X) = np et V(X) = np(1-p).

Le cours

1. Épreuve et Schéma de Bernoulli Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues exclusives : Succès (S) avec la probabilité p et Échec (E) avec q = 1 - p. La variable aléatoire qui vaut 1 en cas de succès et 0 en cas d'échec suit la loi de Bernoulli de paramètre p : son espérance vaut p et sa variance p(1-p). Un schéma de Bernoulli de paramètres n et p est la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. 2. Loi Binomiale B(n, p) La variable aléatoire X comptant le nombre total de succès suit la loi binomiale B(n, p) : P(X = k) = nk p^k (1 - p)^n - k (k \0, 1, , n\) où nk est le coefficient binomial représentant le nombre de chemins à k succès dans l'arbre. 3. Espérance et Variance • Espérance (nombre moyen de succès) : E(X) = n p. • Variance : V(X) = n p (1 - p) et écart-type (X) = n p (1 - p).

Dans ce chapitre

• Schéma de Bernoulli et variables aléatoires de Première
• Variables aléatoires discrètes, espérance et variance de Première
• Loi binomiale : coefficients binomiaux, paramètres n et p de Première
• Loi exponentielle et durée de vie sans vieillissement
• Loi normale et intervalles caractéristiques
• Densité de probabilité d'une variable aléatoire continue sur un intervalle
• Loi uniforme sur un intervalle [a, b]
• Fonction de densité et fonction de répartition de la loi exponentielle
• Espérance mathématique de la loi exponentielle et applications à la fiabilité
• Propriété d'absence de mémoire (sans vieillissement) de la loi exponentielle
• Loi normale centrée réduite N(0, 1)
• Loi normale générale N(, ^2) et intervalles caractéristiques
• Applications des lois continues à la gestion des risques et au contrôle qualité
• Bilan : Synthèse et méthode sur Lois de probabilités discrètes et continues