Loi normale centrée réduite N(0, 1)

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Complémentaires

À retenir

Pour Z N(0, 1) : • **Espérance et variance** : E(Z) = 0 et V(Z) = (Z) = 1. • **Symétrie de la densité** : f(-x) = f(x) (fonction paire). • **Propriétés de la fonction de répartition ** : - (0) = 0,5 - (-u) = 1 - (u) - P(-u Z u) = 2(u) - 1 • **Valeurs de référence** : (1) 0,8413, (1,96) 0,975, (2) 0,9772.

Le cours

1. Définition Une variable aléatoire Z suit la loi normale centrée réduite N(0, 1) si sa densité est définie sur R par : (x) = 12\, e^-x^2/2 Sa courbe est la courbe « en cloche » de Gauss, symétrique par rapport à l'axe des ordonnées et maximale en 0. On a E(Z) = 0 et (Z) = 1. 2. Fonction de répartition et symétrie On note (x) = P(Z x). Ses valeurs s'obtiennent à la calculatrice ou dans une table. Par symétrie : (0) = 0,5, (-u) = 1 - (u) et, pour u > 0, P(-u Z u) = 2(u) - 1. 3. Méthode et mini-exemple 1. Ramener chaque probabilité à des valeurs de en un nombre positif (événement contraire, symétrie). 2. Lire ces valeurs à la calculatrice. Exemple : P(Z > 1) = 1 - (1) 1 - 0,8413 = 0,1587, donc P(-1 Z 1) 1 - 2 0,1587 = 0,6826. Valeurs utiles : P(-1,96 Z 1,96) 0,95 et P(-2,576 Z 2,576) 0,99.

Dans ce chapitre

• Schéma de Bernoulli et variables aléatoires de Première
• Variables aléatoires discrètes, espérance et variance de Première
• Loi binomiale : coefficients binomiaux, paramètres n et p de Première
• Loi exponentielle et durée de vie sans vieillissement
• Loi normale et intervalles caractéristiques
• Densité de probabilité d'une variable aléatoire continue sur un intervalle
• Loi uniforme sur un intervalle [a, b]
• Fonction de densité et fonction de répartition de la loi exponentielle
• Espérance mathématique de la loi exponentielle et applications à la fiabilité
• Propriété d'absence de mémoire (sans vieillissement) de la loi exponentielle
• Loi normale centrée réduite N(0, 1)
• Loi normale générale N(, ^2) et intervalles caractéristiques
• Applications des lois continues à la gestion des risques et au contrôle qualité
• Bilan : Synthèse et méthode sur Lois de probabilités discrètes et continues