Séries statistiques simples : quartiles, écart-type et représentations de Seconde

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Complémentaires

À retenir

• **Moyenne** : x = 1/N _i=1^k n_i x_i. • **Médiane (Me)** : Valeur séparant la série ordonnée en deux groupes de même effectif (50\% au moins inférieurs ou égaux). • **Quartiles** : Q_1 (25\% au moins) et Q_3 (75\% au moins). • **Écart-type** : = V = 1/N n_i x_i^2 - x^2.

Le cours

1. Quartiles et écart interquartile On range les N valeurs de la série dans l'ordre croissant. Le premier quartile Q_1 est la plus petite valeur de la série telle qu'au moins 25\ \% des valeurs lui soient inférieures ou égales ; le troisième quartile Q_3 est la plus petite valeur telle qu'au moins 75\ \% des valeurs lui soient inférieures ou égales. En pratique : Q_1 est la valeur de rang N/4 et Q_3 celle de rang 3N/4, ces rangs étant arrondis à l'entier supérieur s'ils ne sont pas entiers. Pour N = 10 : 10/4 = 2,5 donne le rang 3 et 30/4 = 7,5 donne le rang 8. écart interquartile = Q_3 - Q_1 L'intervalle [Q_1 ; Q_3] contient environ la moitié centrale des valeurs ; l'écart interquartile n'est presque pas influencé par les valeurs extrêmes. 2. Écart-type L'écart-type mesure la dispersion des valeurs autour de la moyenne x. C'est la racine carrée de la variance V, moyenne des carrés des écarts à la moyenne : = V avec V = 1/N_i=1^k n_i\,(x_i - x)^2 s'exprime dans la même unité que les données. Plus est grand, plus les valeurs sont dispersées autour de x. À la calculatrice, en mode statistique, on lit _x (et non s_x). 3. Représentations • Diagramme en bâtons : pour une série discrète, une barre de hauteur n_i au-dessus de chaque valeur x_i. • Histogramme : pour des données regroupées en classes, l'aire de chaque rectangle est proportionnelle à l'effectif de la classe. • Diagramme en boîte : sur un axe gradué, on place le minimum, Q_1, la médiane, Q_3 et le maximum ; la boîte va de Q_1 à Q_3, les moustaches vont jusqu'aux valeurs extrêmes. 4. Attention Avec la définition ci-dessus, Q_1 et Q_3 sont toujours des valeurs de la série. Certains logiciels utilisent une autre convention et peuvent afficher des quartiles légèrement différents : en contrôle, on applique la définition du cours.

Dans ce chapitre

• Statistiques descriptives à une variable, moyenne et médiane de Seconde
• Séries statistiques simples : quartiles, écart-type et représentations de Seconde
• Équations de droites et calculs de pentes dans le plan de Seconde
• Nuage de points, point moyen et méthode des moindres carrés
• Ajustements non linéaires par changement de variable
• Représentation d'une série statistique à deux variables : nuage de points
• Coordonnées du point moyen G et positionnement sur le graphique
• Ajustement affine par la méthode graphique
• Ajustement linéaire par la méthode des moindres carrés : équation de la droite de régression
• Interprétation des coefficients de la droite de régression y = ax + b
• Interpolation et extrapolation : prévisions et limites de validité du modèle
• Changements de variables pour ajustements exponentiels (Y = ln(y))
• Changements de variables pour ajustements puissances ou logarithmiques
• Bilan : Synthèse et méthode sur Statistique à deux variables et ajustement linéaire