Interprétation des coefficients de la droite de régression y = ax + b

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Complémentaires

À retenir

Dans le modèle y = ax + b : • **Pente a** : Variation estimée de y lorsque x augmente de 1 unité. - Si a > 0 : croissance moyenne de a unités de y par unité de x. - Si a < 0 : décroissance moyenne de |a| unités de y par unité de x. • **Ordonnée à l'origine b** : Valeur modélisée de la grandeur y lorsque la variable explicative x est nulle. • **Unités** : L'unité de a est l'unité de y divisée par l'unité de x ; l'unité de b est celle de y.

Le cours

1. Le coefficient directeur a Dans le modèle y = ax + b, lorsque x augmente de 1 unité, y varie de a unités selon le modèle (en moyenne) ; pour une variation x, la variation estimée est y = a x. L'unité de a est l'unité de y par unité de x. Exemple : le coût y (en euros) de fabrication de x pièces est modélisé par y = 2,4x + 350. Chaque pièce supplémentaire coûte environ 2,40 € ; 100 pièces de plus coûtent 240 € de plus. 2. L'ordonnée à l'origine b b est la valeur modélisée de y pour x = 0, dans l'unité de y. Dans l'exemple, b = 350 € représente les coûts fixes, payés même sans rien produire. Si x est un rang d'année (année de référence x = 0), b est la valeur estimée pour l'année de référence. 3. Méthode de rédaction 1. Repérer les unités de x et de y (attention aux « milliers », « centaines »…). 2. Pour a : « Selon ce modèle, lorsque x augmente de 1 [unité de x], y augmente (ou diminue) en moyenne de |a| [unité de y]. » 3. Pour b : « Pour x = 0, le modèle estime y à b [unité de y] », seulement si x = 0 a un sens et reste proche des données. 4. Attention Si x est exprimé en centaines d'euros, a correspond à une hausse de 100 € de x, pas de 1 €. Et une interprétation de b hors de la plage des données est une extrapolation, souvent sans valeur.

Dans ce chapitre

• Statistiques descriptives à une variable, moyenne et médiane de Seconde
• Séries statistiques simples : quartiles, écart-type et représentations de Seconde
• Équations de droites et calculs de pentes dans le plan de Seconde
• Nuage de points, point moyen et méthode des moindres carrés
• Ajustements non linéaires par changement de variable
• Représentation d'une série statistique à deux variables : nuage de points
• Coordonnées du point moyen G et positionnement sur le graphique
• Ajustement affine par la méthode graphique
• Ajustement linéaire par la méthode des moindres carrés : équation de la droite de régression
• Interprétation des coefficients de la droite de régression y = ax + b
• Interpolation et extrapolation : prévisions et limites de validité du modèle
• Changements de variables pour ajustements exponentiels (Y = ln(y))
• Changements de variables pour ajustements puissances ou logarithmiques
• Bilan : Synthèse et méthode sur Statistique à deux variables et ajustement linéaire