Ajustement linéaire par la méthode des moindres carrés : équation de la droite de régression

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Complémentaires

À retenir

• **Équation de régression** : y = ax + b. • **Pente optimale** : a = Cov(X, Y)V(X) = xy - xyx^2 - x^2 • **Ordonnée à l'origine** : b = y - ax. • **Utilisation calculatrice** : Mode Statistiques à deux variables Régression linéaire (`LinReg(ax+b)`).

Le cours

1. Le critère des moindres carrés Pour une droite y = ax + b, le résidu du point M_i(x_i ; y_i) est l'écart vertical e_i = y_i - (ax_i + b). La droite des moindres carrés (droite de régression de y en x) est l'unique droite qui rend minimale la somme S = _i=1^n (y_i - (ax_i + b))^2 Pourquoi des carrés ? Pour toute droite passant par G, la somme des résidus e_i est nulle : les écarts positifs et négatifs se compensent, cette somme ne permet donc pas de choisir la meilleure droite. 2. Les coefficients a = Cov(x, y)V(x) b = y - a\,x avec Cov(x, y) = 1/n (x_i - x)(y_i - y) = xy - x\,y et V(x) = 1/n (x_i - x)^2 = x^2 - x^2. 3. Méthode 1. Calculer x et y. 2. Calculer V(x) et Cov(x, y), à l'aide d'un tableau des écarts ou de la calculatrice (mode statistique à deux variables, régression linéaire). 3. En déduire a, puis b = y - ax. 4. Contrôler : G vérifie l'équation et a a le signe de la covariance. 4. Attention On garde les valeurs exactes de a et b pendant les calculs et on n'arrondit qu'à la fin. La régression de x en y donne en général une autre droite : on vérifie quelle variable est en abscisse.

Dans ce chapitre

• Statistiques descriptives à une variable, moyenne et médiane de Seconde
• Séries statistiques simples : quartiles, écart-type et représentations de Seconde
• Équations de droites et calculs de pentes dans le plan de Seconde
• Nuage de points, point moyen et méthode des moindres carrés
• Ajustements non linéaires par changement de variable
• Représentation d'une série statistique à deux variables : nuage de points
• Coordonnées du point moyen G et positionnement sur le graphique
• Ajustement affine par la méthode graphique
• Ajustement linéaire par la méthode des moindres carrés : équation de la droite de régression
• Interprétation des coefficients de la droite de régression y = ax + b
• Interpolation et extrapolation : prévisions et limites de validité du modèle
• Changements de variables pour ajustements exponentiels (Y = ln(y))
• Changements de variables pour ajustements puissances ou logarithmiques
• Bilan : Synthèse et méthode sur Statistique à deux variables et ajustement linéaire