Nuage de points, point moyen et méthode des moindres carrés

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Complémentaires

À retenir

• Droite des moindres carrés : y = ax + b avec a = Cov(x, y)V(x) et b = y - ax. • Elle passe par le point moyen G(x ; y). • Le coefficient de corrélation r vérifie -1 r 1 ; plus |r| est proche de 1, plus le nuage est proche d'une droite.

Le cours

Droite de régression linéaire par la méthode des moindres carrés Lorsque la forme du nuage de points présente une allure allongée justifiant un modèle affine, on ajuste le nuage par la droite D d'équation : y = a x + b La droite des moindres carrés (ou droite de régression de y en x) est l'unique droite qui minimise la somme des carrés des distances verticales des points à la droite : _i=1^n (y_i - (ax_i + b))^2. Formules des coefficients (calculatrice) • Pente de la droite : a = Cov(x, y)V(x) = (x_i - x)(y_i - y) (x_i - x)^2 • Ordonnée à l'origine : b = y - a x (la droite passe par G(x ; y)). • Coefficient de corrélation linéaire r : -1 r 1. Un ajustement affine est d'autant plus pertinent que |r| est proche de 1 ; le seuil à partir duquel on le juge satisfaisant est une convention fixée par l'énoncé, pas un théorème. Interpolation et extrapolation L'équation y = ax + b permet d'estimer une valeur de y connaissant x : • Interpolation : estimation pour une valeur de x située à l'intérieur de la plage observée [x_1 ; x_n] (grande fiabilité). • Extrapolation : prévision pour une valeur de x située en dehors de la plage (ex: projection dans l'avenir). Sa fiabilité repose sur l'hypothèse que la tendance passée se poursuit.

Dans ce chapitre

• Statistiques descriptives à une variable, moyenne et médiane de Seconde
• Séries statistiques simples : quartiles, écart-type et représentations de Seconde
• Équations de droites et calculs de pentes dans le plan de Seconde
• Nuage de points, point moyen et méthode des moindres carrés
• Ajustements non linéaires par changement de variable
• Représentation d'une série statistique à deux variables : nuage de points
• Coordonnées du point moyen G et positionnement sur le graphique
• Ajustement affine par la méthode graphique
• Ajustement linéaire par la méthode des moindres carrés : équation de la droite de régression
• Interprétation des coefficients de la droite de régression y = ax + b
• Interpolation et extrapolation : prévisions et limites de validité du modèle
• Changements de variables pour ajustements exponentiels (Y = ln(y))
• Changements de variables pour ajustements puissances ou logarithmiques
• Bilan : Synthèse et méthode sur Statistique à deux variables et ajustement linéaire