Coordonnées du point moyen G et positionnement sur le graphique

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Complémentaires

À retenir

• **Coordonnées du point moyen** : G(x, y). • **Formules** : x = x_1 + x_2 + + x_n/n et y = y_1 + y_2 + + y_n/n • **Propriété géométrique fondamentale** : La droite de régression de y en x passe obligatoirement par le point moyen G : y = ax + b.

Le cours

1. Définition du point moyen Le point moyen d'une série statistique à deux variables (x_i ; y_i) de n points est le point G dont les coordonnées sont les moyennes des deux variables : G(x ; y) avec x = 1/n_i=1^n x_i et y = 1/n_i=1^n y_i Exemple : pour les points (2 ; 5), (4 ; 9) et (6 ; 10), on obtient x = 12/3 = 4 et y = 24/3 = 8, donc G(4 ; 8), qui n'est pas un point de la série. 2. Propriétés • G est le centre de gravité du nuage : les écarts x_i - x ont une somme nulle, de même que les écarts y_i - y. • La droite des moindres carrés y = ax + b passe toujours par G : y = ax + b. Connaître G et la pente a suffit donc à retrouver b. 3. Méthode : regrouper deux sous-séries 1. Si une série est partagée en deux groupes d'effectifs n_1 et n_2, de points moyens G_1 et G_2, alors x = n_1x_1 + n_2x_2n_1 + n_2, et de même pour y. 2. Si n_1 = n_2, le point moyen G est le milieu du segment [G_1G_2]. 3. Sur le graphique, on place G avec un symbole distinct de celui des points du nuage. 4. Attention Si la série est donnée avec des effectifs (plusieurs individus ont le même couple de valeurs), chaque couple compte autant de fois que son effectif dans le calcul des moyennes.

Dans ce chapitre

• Statistiques descriptives à une variable, moyenne et médiane de Seconde
• Séries statistiques simples : quartiles, écart-type et représentations de Seconde
• Équations de droites et calculs de pentes dans le plan de Seconde
• Nuage de points, point moyen et méthode des moindres carrés
• Ajustements non linéaires par changement de variable
• Représentation d'une série statistique à deux variables : nuage de points
• Coordonnées du point moyen G et positionnement sur le graphique
• Ajustement affine par la méthode graphique
• Ajustement linéaire par la méthode des moindres carrés : équation de la droite de régression
• Interprétation des coefficients de la droite de régression y = ax + b
• Interpolation et extrapolation : prévisions et limites de validité du modèle
• Changements de variables pour ajustements exponentiels (Y = ln(y))
• Changements de variables pour ajustements puissances ou logarithmiques
• Bilan : Synthèse et méthode sur Statistique à deux variables et ajustement linéaire