Ajustements non linéaires par changement de variable

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Complémentaires

À retenir

• Modèle exponentiel y = k\,e^ax (k > 0) : on pose z = (y), le nuage (x_i ; z_i) est alors presque aligné. • On ajuste z = ax + b par les moindres carrés, puis y = e^ax + b = e^b (e^a)^x = K C^x avec K = e^b et C = e^a. • Modèle puissance y = K x^a : X = (x) et Y = (y) ; modèle logarithmique y = a(x) + b : X = (x) seulement.

Le cours

Principe du changement de variable Lorsque le nuage de points n'a manifestement pas une allure rectiligne (allure exponentielle, puissance ou logarithmique), un ajustement linéaire direct y = ax + b est inadapté. On applique alors un changement de variable pour se ramener à un nuage aligné auquel on applique la méthode des moindres carrés. Modèle exponentiel : z = (y) Si les valeurs de y croissent ou décroissent de manière géométrique (multiplicative) : 1. On pose la nouvelle variable z_i = (y_i) (pour y_i > 0). 2. On détermine la droite de régression de z en x : z = a x + b. 3. On repasse à y en appliquant la fonction exponentielle : y = e^z = e^ax + b = e^b (e^a)^x = K C^x avec K = e^b et C = e^a Autres changements de variables usuels • Modèle logarithmique : X = (x) y = a (x) + b. • Modèle puissance : X = (x) et Y = (y) Y = a X + b y = K x^a. • Modèle inverse : X = 1/x y = a/x + b.

Dans ce chapitre

• Statistiques descriptives à une variable, moyenne et médiane de Seconde
• Séries statistiques simples : quartiles, écart-type et représentations de Seconde
• Équations de droites et calculs de pentes dans le plan de Seconde
• Nuage de points, point moyen et méthode des moindres carrés
• Ajustements non linéaires par changement de variable
• Représentation d'une série statistique à deux variables : nuage de points
• Coordonnées du point moyen G et positionnement sur le graphique
• Ajustement affine par la méthode graphique
• Ajustement linéaire par la méthode des moindres carrés : équation de la droite de régression
• Interprétation des coefficients de la droite de régression y = ax + b
• Interpolation et extrapolation : prévisions et limites de validité du modèle
• Changements de variables pour ajustements exponentiels (Y = ln(y))
• Changements de variables pour ajustements puissances ou logarithmiques
• Bilan : Synthèse et méthode sur Statistique à deux variables et ajustement linéaire