Changements de variables pour ajustements exponentiels (Y = ln(y))

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Complémentaires

À retenir

• **Forme du modèle exponentiel** : y = C e^ax ou y = C k^x. • **Linéarisation par le logarithme** : y = C e^ax (y) = (C) + ax En posant Y = (y) et b = (C), on obtient la droite : Y = ax + b. • **Réciproque pour retrouver le modèle initial** : y = e^Y = e^ax + b = e^b e^ax = C (e^a)^x avec C = e^b et la base k = e^a.

Le cours

1. Reconnaître une évolution exponentielle Les ordonnées y_i sont strictement positives et, pour des pas égaux de x, les quotients y_i+1y_i sont presque constants : y évolue selon une progression quasi géométrique et le nuage (x_i ; y_i) est courbé. Comme le logarithme transforme les produits en sommes, les points (x_i ; (y_i)) sont alors presque alignés. 2. Le changement de variable Y = (y) On ajuste le nuage (x_i ; Y_i) par la droite des moindres carrés Y = ax + b, puis on revient à y : y = e^ax + b = e^b (e^a)^x = C k^x avec C = e^b et k = e^a k est le coefficient multiplicateur quand x augmente de 1 ; le taux d'évolution correspondant est k - 1. 3. Méthode 1. Vérifier que tous les y_i sont strictement positifs et calculer Y_i = (y_i). 2. Constater l'alignement des points (x_i ; Y_i). 3. Obtenir Y = ax + b à la calculatrice (listes x_i et Y_i). 4. Revenir à y = e^b (e^a)^x et exploiter le modèle. Exemple : Y = 0,1x + 2 donne y = e^2 (e^0,1)^x 7,39 1,105^x, soit une hausse d'environ 10,5\ \% par unité de x. 4. Attention La régression porte sur Y = (y), pas sur y. Gardez assez de décimales pour b : comme C = e^b, une erreur de 0,01 sur b modifie C d'environ 1\ \%.

Dans ce chapitre

• Statistiques descriptives à une variable, moyenne et médiane de Seconde
• Séries statistiques simples : quartiles, écart-type et représentations de Seconde
• Équations de droites et calculs de pentes dans le plan de Seconde
• Nuage de points, point moyen et méthode des moindres carrés
• Ajustements non linéaires par changement de variable
• Représentation d'une série statistique à deux variables : nuage de points
• Coordonnées du point moyen G et positionnement sur le graphique
• Ajustement affine par la méthode graphique
• Ajustement linéaire par la méthode des moindres carrés : équation de la droite de régression
• Interprétation des coefficients de la droite de régression y = ax + b
• Interpolation et extrapolation : prévisions et limites de validité du modèle
• Changements de variables pour ajustements exponentiels (Y = ln(y))
• Changements de variables pour ajustements puissances ou logarithmiques
• Bilan : Synthèse et méthode sur Statistique à deux variables et ajustement linéaire