Changements de variables pour ajustements puissances ou logarithmiques

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Complémentaires

À retenir

• **Modèle puissance** : y = C x^. - Changement de variable : X = (x) et Y = (y). - Forme linéarisée : Y = X + b avec b = (C) d'où C = e^b. • **Modèle logarithmique** : y = a (x) + b. - Changement de variable : X = (x) et y inchangé. - Forme linéarisée : y = a X + b.

Le cours

1. Modèle puissance y = C\,x^ Avec x > 0 et y > 0, on a (y) = (x) + (C) : les points ((x_i) ; (y_i)) sont alignés. On pose X = (x) et Y = (y), on ajuste Y = X + b, puis C = e^b. Interprétation : si x est multiplié par 2, y est multiplié par 2^ (par 4 si = 2, par 2 1,41 si = 0,5). 2. Modèle logarithmique y = a(x) + b Avec x > 0, on pose seulement X = (x) : les points ((x_i) ; y_i) sont alignés et l'on ajuste directement y = aX + b. Chaque fois que x double, y augmente de a(2) 0,69\,a : la croissance ralentit sans jamais s'arrêter. 3. Choisir le changement de variable • Nuage (x ; (y)) aligné : modèle exponentiel. • Nuage ((x) ; (y)) aligné : modèle puissance. • Nuage ((x) ; y) aligné : modèle logarithmique. Exemple : Y = 2X + 1,1 avec X = (x) et Y = (y) donne y = e^1,1 x^2 3,00\,x^2. 4. Attention Au retour, e^(x) = x^ et non x ; et l'ordonnée à l'origine b de la droite donne C = e^b, pas C = b.

Dans ce chapitre

• Statistiques descriptives à une variable, moyenne et médiane de Seconde
• Séries statistiques simples : quartiles, écart-type et représentations de Seconde
• Équations de droites et calculs de pentes dans le plan de Seconde
• Nuage de points, point moyen et méthode des moindres carrés
• Ajustements non linéaires par changement de variable
• Représentation d'une série statistique à deux variables : nuage de points
• Coordonnées du point moyen G et positionnement sur le graphique
• Ajustement affine par la méthode graphique
• Ajustement linéaire par la méthode des moindres carrés : équation de la droite de régression
• Interprétation des coefficients de la droite de régression y = ax + b
• Interpolation et extrapolation : prévisions et limites de validité du modèle
• Changements de variables pour ajustements exponentiels (Y = ln(y))
• Changements de variables pour ajustements puissances ou logarithmiques
• Bilan : Synthèse et méthode sur Statistique à deux variables et ajustement linéaire