Interpolation et extrapolation : prévisions et limites de validité du modèle

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Complémentaires

À retenir

• **Interpolation** : Estimation pour x [x_ ; x_] (fiable sous réserve d'un bon ajustement). • **Extrapolation** : Prévision pour x x_ (incertitude croissante avec l'éloignement). • **Limites du modèle linéaire** : - Risque d'aberrations numériques (valeurs négatives impossibles, pourcentages > 100\%). - Ignorance des ruptures de structure économique ou technologique.

Le cours

1. Interpolation et extrapolation Une équation d'ajustement y = ax + b n'a été obtenue qu'à partir des valeurs observées de x, comprises entre x_ et x_ : c'est le domaine d'observation. • Interpolation : estimer y pour une valeur de x située dans [x_ ; x_]. Si l'ajustement est bon, l'estimation est fiable. • Extrapolation : prévoir y pour x x_. On suppose alors que la tendance observée se prolonge, ce que rien ne garantit. 2. Pourquoi l'extrapolation est risquée Hors du domaine observé, le phénomène peut changer de nature : saturation (un taux d'équipement ne dépasse pas 100\ \%), rupture (nouvelle technologie, réforme), limite physique (une grandeur positive ne devient pas négative). L'incertitude grandit avec l'éloignement du domaine d'observation. 3. Méthode 1. Traduire la donnée en valeur de x (par exemple rang d'année = année - année de référence). 2. Situer x par rapport à [x_ ; x_] : interpolation ou extrapolation ? 3. Calculer y = ax + b ; pour un problème inverse, résoudre ax + b = seuil, puis situer la solution. 4. Contrôler la vraisemblance (signe, bornes, unités) et qualifier l'estimation dans la conclusion. Exemple : observations de 2016 (x = 0) à 2024 (x = 8), modèle y = 2,5x + 30. Pour 2020, x = 4 et y = 40 : interpolation. Pour 2040, x = 24 et y = 90 : extrapolation lointaine, 16 ans après la dernière observation. 4. Attention Une prévision n'est jamais « exacte » : on écrit « selon ce modèle, on peut estimer… », et l'on précise si elle repose sur une extrapolation.

Dans ce chapitre

• Statistiques descriptives à une variable, moyenne et médiane de Seconde
• Séries statistiques simples : quartiles, écart-type et représentations de Seconde
• Équations de droites et calculs de pentes dans le plan de Seconde
• Nuage de points, point moyen et méthode des moindres carrés
• Ajustements non linéaires par changement de variable
• Représentation d'une série statistique à deux variables : nuage de points
• Coordonnées du point moyen G et positionnement sur le graphique
• Ajustement affine par la méthode graphique
• Ajustement linéaire par la méthode des moindres carrés : équation de la droite de régression
• Interprétation des coefficients de la droite de régression y = ax + b
• Interpolation et extrapolation : prévisions et limites de validité du modèle
• Changements de variables pour ajustements exponentiels (Y = ln(y))
• Changements de variables pour ajustements puissances ou logarithmiques
• Bilan : Synthèse et méthode sur Statistique à deux variables et ajustement linéaire