Ajustement affine par la méthode graphique

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Complémentaires

À retenir

• **Principe** : Tracer une droite passant au plus près de l'ensemble des points du nuage, avec autant de points au-dessus qu'en dessous. • **Convention usuelle** : On fait passer la droite par le point moyen G(x, y), ce qui équilibre le nuage de part et d'autre. • **Détermination de l'équation** : 1. Choisir deux points A et B bien espacés sur la droite tracée. 2. Calculer la pente a = y_B - y_A/x_B - x_A. 3. Déterminer b = y_A - a x_A ou lire l'ordonnée à l'origine sur l'axe vertical.

Le cours

1. Principe Ajuster graphiquement un nuage allongé, c'est tracer à la règle une droite qui suit la direction d'allongement du nuage, en laissant à peu près autant de points de part et d'autre. On la fait passer, par convention, par le point moyen G(x ; y). On lit ensuite son équation y = ax + b sur le graphique. 2. Méthode 1. Placer le nuage et le point moyen G. 2. Faire pivoter la règle autour de G jusqu'à équilibrer les points au-dessus et au-dessous de la droite. 3. Lire les coordonnées de deux points de la droite bien éloignés, situés sur des nœuds du quadrillage (pas forcément des points du nuage). 4. Calculer a = y_B - y_A/x_B - x_A puis b = y_A - a\,x_A. 5. Vérifier que les coordonnées de G satisfont l'équation trouvée. 3. Variante : la méthode de Mayer On partage la série, rangée selon x, en deux groupes de même effectif, on calcule leurs points moyens G_1 et G_2 et on trace la droite (G_1G_2), qui passe par G. Exemple : G_1(1 ; 4) et G_2(5 ; 12) donnent a = 12 - 4/5 - 1 = 2 et b = 4 - 2 1 = 2, soit y = 2x + 2. 4. Limites Deux personnes ne tracent pas exactement la même droite : la méthode graphique donne un ordre de grandeur rapide de la pente et de l'ordonnée à l'origine. La droite de référence, obtenue par le calcul, est celle des moindres carrés.

Dans ce chapitre

• Statistiques descriptives à une variable, moyenne et médiane de Seconde
• Séries statistiques simples : quartiles, écart-type et représentations de Seconde
• Équations de droites et calculs de pentes dans le plan de Seconde
• Nuage de points, point moyen et méthode des moindres carrés
• Ajustements non linéaires par changement de variable
• Représentation d'une série statistique à deux variables : nuage de points
• Coordonnées du point moyen G et positionnement sur le graphique
• Ajustement affine par la méthode graphique
• Ajustement linéaire par la méthode des moindres carrés : équation de la droite de régression
• Interprétation des coefficients de la droite de régression y = ax + b
• Interpolation et extrapolation : prévisions et limites de validité du modèle
• Changements de variables pour ajustements exponentiels (Y = ln(y))
• Changements de variables pour ajustements puissances ou logarithmiques
• Bilan : Synthèse et méthode sur Statistique à deux variables et ajustement linéaire