Identités remarquables et factorisations du second degré de Seconde

1ère Technologique · Mathématiques 1ère Techno

À retenir

Pour tous réels a et b : • **Carré d'une somme** : (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. • **Carré d'une différence** : (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2. • **Différence de deux carrés** : a^2 - b^2 = (a - b)(a + b). • **Équation produit-nul** : A B = 0 A = 0 ou B = 0.

Le cours

1. Les trois identités remarquables Pour tous réels a et b, les égalités suivantes se lisent dans les deux sens : de gauche à droite on développe, de droite à gauche on factorise. (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) Une expression du second degré factorisée en produit de facteurs du premier degré permet ensuite de résoudre une équation produit nul ou d'étudier un signe : c'est l'outil de base de tout le chapitre. 2. Méthode : quelle identité pour factoriser ? 1. Chercher d'abord un facteur commun : 3x^2 - 12x = 3x(x - 4). 2. Deux termes séparés par un « moins », tous deux des carrés : différence de deux carrés, x^2 - 49 = (x - 7)(x + 7). 3. Trois termes dont deux carrés positifs : vérifier que le troisième est le double produit, x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2 car 2 x 5 = 10x. 4. Toujours redévelopper mentalement le résultat pour le contrôler. 3. Attention Une somme de deux carrés comme x^2 + 9 ne se factorise pas dans R (elle vaut toujours au moins 9, elle ne s'annule jamais). Et (x - 3)^2 x^2 - 9 : le double produit -6x ne disparaît pas.

Dans ce chapitre

• Développer, factoriser au 1er degré et fonction carré de Seconde
• Résolution d'équations produits-nuls et lectures graphiques de Seconde
• Identités remarquables et factorisations du second degré de Seconde
• Forme développée d'un polynôme du second degré et identification des coefficients a, b, c
• Parabole représentative, axe de symétrie et orientation selon le signe de a
• Forme canonique a(x - α)² + β et coordonnées du sommet S(α, β)
• Tableau de variations complet d'une fonction du second degré
• Le discriminant Δ = b² - 4ac et nombre de racines réelles
• Calcul des racines réelles et résolution de l'équation ax² + bx + c = 0
• Forme factorisée d'un polynôme du second degré
• Signe d'un polynôme du second degré et résolution d'inéquations
• Optimisation économique et technologique : modéliser un bénéfice ou une grandeur physique
• Intersection de la parabole avec une droite et résolution d'équations ax^2 + bx + c = mx + p
• Bilan : Synthèse et méthode sur Fonctions polynômes du second degré & Optimisation