Le discriminant Δ = b² - 4ac et nombre de racines réelles

1ère Technologique · Mathématiques 1ère Techno

À retenir

• Formule universelle : = b^2 - 4ac. • > 0 2 solutions réelles distinctes. • = 0 1 unique solution réelle (dite double). • < 0 0 solution réelle dans R.

Le cours

1. Définition et rôle du discriminant Pour déterminer si l'équation du second degré ax^2 + bx + c = 0 (a 0) admet des solutions réelles, on calcule le discriminant noté (lettre grecque delta majuscule) : = b^2 - 4ac Si > 0 2 racines réelles distinctes La parabole coupe l'axe (Ox) en deux points distincts. Si = 0 1 racine double La parabole est tangente à l'axe (Ox) en son sommet. Si 0 racine réelle La parabole ne coupe jamais l'axe horizontal (Ox). Interprétation graphique du discriminant (pour a > 0) Ox 0 (coupe 2 fois) --> Δ > 0 (2 racines) Δ = 0 (1 racine) Δ < 0 (0 racine) Exemple concret : Détection d'obstacle par radar de recul La distance d(t) entre un chariot robotisé et un obstacle est modélisée par d(t) = 2t^2 - 8t + 10. Y aura-t-il collision (d(t) = 0) ? = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 2 10 = 64 - 80 = -16 Comme < 0, l'équation d(t) = 0 n'a aucune solution réelle : la distance ne s'annule jamais, il n'y a donc aucun risque de collision.

Dans ce chapitre

• Développer, factoriser au 1er degré et fonction carré de Seconde
• Résolution d'équations produits-nuls et lectures graphiques de Seconde
• Identités remarquables et factorisations du second degré de Seconde
• Forme développée d'un polynôme du second degré et identification des coefficients a, b, c
• Parabole représentative, axe de symétrie et orientation selon le signe de a
• Forme canonique a(x - α)² + β et coordonnées du sommet S(α, β)
• Tableau de variations complet d'une fonction du second degré
• Le discriminant Δ = b² - 4ac et nombre de racines réelles
• Calcul des racines réelles et résolution de l'équation ax² + bx + c = 0
• Forme factorisée d'un polynôme du second degré
• Signe d'un polynôme du second degré et résolution d'inéquations
• Optimisation économique et technologique : modéliser un bénéfice ou une grandeur physique
• Intersection de la parabole avec une droite et résolution d'équations ax^2 + bx + c = mx + p
• Bilan : Synthèse et méthode sur Fonctions polynômes du second degré & Optimisation