Intersection de la parabole avec une droite et résolution d'équations ax^2 + bx + c = mx + p

1ère Technologique · Mathématiques 1ère Techno

À retenir

• **Équation aux abscisses d'intersection** : ax^2 + (b - m)x + (c - p) = 0 • **Interprétation géométrique selon ** : - > 0 : 2 points d'intersection distincts (la droite est sécante). - = 0 : 1 unique point de contact (la droite est tangente à la parabole). - < 0 : 0 point d'intersection (la droite et la parabole sont disjointes). • **Calcul des ordonnées** : y_k = m x_k + p.

Le cours

1. Ramener l'intersection à une équation du second degré Un point M(x ; y) appartient à la fois à la parabole y = ax^2 + bx + c et à la droite y = mx + p si et seulement si ses coordonnées vérifient les deux équations. Son abscisse est donc solution de : ax^2 + bx + c = mx + p ax^2 + (b - m)x + (c - p) = 0 Le discriminant de cette équation réduite donne le nombre de points communs : deux si > 0 (droite sécante), un seul si = 0 (droite tangente à la parabole), aucun si 2. Méthode et mini-exemple 1. Égaler les deux expressions de y, puis tout passer dans le membre de gauche. 2. Réduire pour obtenir la forme Ax^2 + Bx + C = 0, puis résoudre (racine évidente, factorisation ou ). 3. Calculer l'ordonnée de chaque point avec l'équation de la droite. Exemple : parabole y = x^2 et droite y = x + 2. On résout x^2 - x - 2 = 0, soit (x - 2)(x + 1) = 0 : les points communs sont (-1 ; 1) et (2 ; 4). 3. Bonus : quelle courbe est au-dessus ? Le signe de la différence (ax^2 + bx + c) - (mx + p) indique la position relative : positive, la parabole est au-dessus de la droite ; négative, elle est en dessous. Dans le mini-exemple, x^2 - x - 2 4. Attention En passant mx + p à gauche, les deux termes changent de signe : on obtient -mx - p. Oublier ce changement fausse et donc le nombre de points d'intersection.

Dans ce chapitre

• Développer, factoriser au 1er degré et fonction carré de Seconde
• Résolution d'équations produits-nuls et lectures graphiques de Seconde
• Identités remarquables et factorisations du second degré de Seconde
• Forme développée d'un polynôme du second degré et identification des coefficients a, b, c
• Parabole représentative, axe de symétrie et orientation selon le signe de a
• Forme canonique a(x - α)² + β et coordonnées du sommet S(α, β)
• Tableau de variations complet d'une fonction du second degré
• Le discriminant Δ = b² - 4ac et nombre de racines réelles
• Calcul des racines réelles et résolution de l'équation ax² + bx + c = 0
• Forme factorisée d'un polynôme du second degré
• Signe d'un polynôme du second degré et résolution d'inéquations
• Optimisation économique et technologique : modéliser un bénéfice ou une grandeur physique
• Intersection de la parabole avec une droite et résolution d'équations ax^2 + bx + c = mx + p
• Bilan : Synthèse et méthode sur Fonctions polynômes du second degré & Optimisation