Parabole représentative, axe de symétrie et orientation selon le signe de a

1ère Technologique · Mathématiques 1ère Techno

À retenir

• a > 0 : la parabole « sourit » , le sommet est un MINIMUM. • a < 0 : la parabole « fait la moue » , le sommet est un MAXIMUM. • Toute parabole possède un axe de symétrie vertical passant par son sommet.

Le cours

1. Allure de la parabole et signe de a La courbe représentative de la fonction f(x) = ax^2 + bx + c dans un repère est une parabole. Son orientation dépend exclusivement du signe de a : Cas a > 0 : Branches vers le haut • La parabole est en « cuvette ». • Elle descend puis monte. • Son sommet S correspond à un minimum absolu. Cas a • La parabole est en « dôme ». • Elle monte puis descend. • Son sommet S correspond à un maximum absolu. Axe de symétrie : la parabole est symétrique par rapport à la droite verticale d'équation x = -b/2a, qui passe par son sommet S. Si la parabole coupe l'axe des abscisses en x_1 et x_2, cet axe passe exactement au milieu : x = x_1 + x_2/2. Deux points de même ordonnée sont toujours placés symétriquement par rapport à cet axe. Comparaison graphique selon le signe du coefficient a 0 à gauche --> a > 0 : Minimum a < 0 : Maximum Exemple concret : Arche de pont et résistance mécanique L'arche centrale d'un pont routier a pour équation y = -0,02x^2 + 1,2x + 8 dans un repère lié aux fondations. Puisque a = -0,02 < 0, la parabole est orientée vers le bas. Le point culminant de l'arche correspond au sommet de la parabole, qui est un maximum : il se trouve sur l'axe x = -1,22 (-0,02) = 30, à la hauteur y = -0,02 30^2 + 1,2 30 + 8 = 26.

Dans ce chapitre

• Développer, factoriser au 1er degré et fonction carré de Seconde
• Résolution d'équations produits-nuls et lectures graphiques de Seconde
• Identités remarquables et factorisations du second degré de Seconde
• Forme développée d'un polynôme du second degré et identification des coefficients a, b, c
• Parabole représentative, axe de symétrie et orientation selon le signe de a
• Forme canonique a(x - α)² + β et coordonnées du sommet S(α, β)
• Tableau de variations complet d'une fonction du second degré
• Le discriminant Δ = b² - 4ac et nombre de racines réelles
• Calcul des racines réelles et résolution de l'équation ax² + bx + c = 0
• Forme factorisée d'un polynôme du second degré
• Signe d'un polynôme du second degré et résolution d'inéquations
• Optimisation économique et technologique : modéliser un bénéfice ou une grandeur physique
• Intersection de la parabole avec une droite et résolution d'équations ax^2 + bx + c = mx + p
• Bilan : Synthèse et méthode sur Fonctions polynômes du second degré & Optimisation