Tableau de variations complet d'une fonction du second degré

1ère Technologique · Mathématiques 1ère Techno

À retenir

• Si a > 0 : décroissante sur ]- ; ] puis croissante sur [ ; +[. • Si a < 0 : croissante sur ]- ; ] puis décroissante sur [ ; +[. • L'extremum est atteint exactement en x = .

Le cours

1. Méthode pour dresser le tableau de variations Le sens de variation d'une fonction du second degré change en = -b/2a. Pour dresser rigoureusement son tableau de variations, on suit 3 étapes : Calculer l'abscisse du sommet = -b/2a. Calculer la valeur de l'extremum = f(). Regarder le signe de a pour orienter les flèches de variation. Les deux configurations fondamentales de variation 0 (haut) --> x -∞ α +∞ f(x) β (min) (a > 0) x -∞ α +∞ f(x) β (max) (a < 0) Exemple concret : Consommation de carburant d'un utilitaire La consommation C(v) en litres aux 100 km d'un véhicule utilitaire en fonction de sa vitesse v en km/h (pour v [30 ; 130]) est donnée par : C(v) = 0,001v^2 - 0,16v + 12,4 Ici a = 0,001 > 0, donc la consommation diminue jusqu'à une vitesse optimale = 0,162 0,001 = 80 km/h, puis ré-augmente. Le véhicule consomme le moins à 80 km/h.

Dans ce chapitre

• Développer, factoriser au 1er degré et fonction carré de Seconde
• Résolution d'équations produits-nuls et lectures graphiques de Seconde
• Identités remarquables et factorisations du second degré de Seconde
• Forme développée d'un polynôme du second degré et identification des coefficients a, b, c
• Parabole représentative, axe de symétrie et orientation selon le signe de a
• Forme canonique a(x - α)² + β et coordonnées du sommet S(α, β)
• Tableau de variations complet d'une fonction du second degré
• Le discriminant Δ = b² - 4ac et nombre de racines réelles
• Calcul des racines réelles et résolution de l'équation ax² + bx + c = 0
• Forme factorisée d'un polynôme du second degré
• Signe d'un polynôme du second degré et résolution d'inéquations
• Optimisation économique et technologique : modéliser un bénéfice ou une grandeur physique
• Intersection de la parabole avec une droite et résolution d'équations ax^2 + bx + c = mx + p
• Bilan : Synthèse et méthode sur Fonctions polynômes du second degré & Optimisation