Calcul des racines réelles et résolution de l'équation ax² + bx + c = 0

1ère Technologique · Mathématiques 1ère Techno

À retenir

• Si > 0 : x_1 = -b - 2a et x_2 = -b + 2a. • Si = 0 : x_0 = -b/2a. • Si < 0 : aucune solution dans R, on note S = . • Pensez à toujours simplifier la fraction obtenue.

Le cours

1. Les formules des racines réelles Lorsque le discriminant 0, les solutions de l'équation ax^2 + bx + c = 0 sont données par les formules : Si > 0 (deux racines) : x_1 = -b - 2a x_2 = -b + 2a Si = 0 (racine double) : x_0 = -b/2a (qui correspond exactement à l'abscisse du sommet). Algorithme systématique de résolution de ax^2 + bx + c = 0 Calcul de Δ = b² - 4ac 0 --> Δ > 0 x₁ et x₂ Δ = 0 x₀ = -b / (2a) Δ < 0 S = ∅ Exemple concret : Instant d'impact au sol d'une fusée d'essai La hauteur h(t) en mètres d'une fusée d'essai en fonction du temps t 0 est : h(t) = -5t^2 + 30t + 35 Le contact avec le sol a lieu quand h(t) = 0. On résout -5t^2 + 30t + 35 = 0 : = 30^2 - 4(-5)(35) = 900 + 700 = 1600 = 40 t_1 = -30 - 40/2(-5) = -70/-10 = 7 s ; t_2 = -30 + 40/-10 = -1 s Comme le temps est positif, la fusée touche le sol au bout de 7 secondes.

Dans ce chapitre

• Développer, factoriser au 1er degré et fonction carré de Seconde
• Résolution d'équations produits-nuls et lectures graphiques de Seconde
• Identités remarquables et factorisations du second degré de Seconde
• Forme développée d'un polynôme du second degré et identification des coefficients a, b, c
• Parabole représentative, axe de symétrie et orientation selon le signe de a
• Forme canonique a(x - α)² + β et coordonnées du sommet S(α, β)
• Tableau de variations complet d'une fonction du second degré
• Le discriminant Δ = b² - 4ac et nombre de racines réelles
• Calcul des racines réelles et résolution de l'équation ax² + bx + c = 0
• Forme factorisée d'un polynôme du second degré
• Signe d'un polynôme du second degré et résolution d'inéquations
• Optimisation économique et technologique : modéliser un bénéfice ou une grandeur physique
• Intersection de la parabole avec une droite et résolution d'équations ax^2 + bx + c = mx + p
• Bilan : Synthèse et méthode sur Fonctions polynômes du second degré & Optimisation