Développer, factoriser au 1er degré et fonction carré de Seconde

1ère Technologique · Mathématiques 1ère Techno

À retenir

• Distributivité : (a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd. • Identité fondamentale : (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2. • La fonction carré x x^2 est décroissante sur ]-; 0] puis croissante sur [0; +[.

Le cours

1. Les automatismes de calcul algébrique de Seconde Pour aborder sereinement l'étude des fonctions polynômes du second degré en première technologique, il est indispensable de maîtriser le développement, la factorisation de base et le comportement de la fonction carré f(x) = x^2. Développements usuels : • k(a + b) = ka + kb • (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd • (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 • (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 • (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 Fonction de référence f(x) = x^2 : • Définie sur R, toujours positive ou nulle (x^2 0). • Décroissante sur ]- ; 0] et croissante sur [0 ; +[. • Sa courbe est une parabole admettant l'axe (Oy) pour axe de symétrie et l'origine O(0, 0) pour sommet. 2. Factoriser : le chemin inverse du développement Factoriser, c'est transformer une somme en produit. Au premier degré, on repère un facteur commun k et on applique ka + kb = k(a + b) à l'envers : • 5x^2 - 15x = 5x x - 5x 3 = 5x(x - 3) ; • (x + 2)(x - 1) + 3(x + 2) = (x + 2)[(x - 1) + 3] = (x + 2)(x + 2). Contrôle : on redéveloppe le produit obtenu, on doit retrouver l'expression de départ. Courbe représentative de la fonction carré fondamentale y = x^2 x y O f(x) = x² −1 1 Sommet O(0, 0) Exemple concret : Dimensionnement d'un boîtier de circuit imprimé Un technicien en bureau d'études conçoit un boîtier rectangulaire dont la longueur mesure x + 4 centimètres et la largeur x - 1 centimètres. L'aire de la base en cm^2 s'obtient en développant le produit : A(x) = (x + 4)(x - 1) = x^2 - x + 4x - 4 = x^2 + 3x - 4 Cette expression est un polynôme du second degré de la forme ax^2 + bx + c.

Dans ce chapitre

• Développer, factoriser au 1er degré et fonction carré de Seconde
• Résolution d'équations produits-nuls et lectures graphiques de Seconde
• Identités remarquables et factorisations du second degré de Seconde
• Forme développée d'un polynôme du second degré et identification des coefficients a, b, c
• Parabole représentative, axe de symétrie et orientation selon le signe de a
• Forme canonique a(x - α)² + β et coordonnées du sommet S(α, β)
• Tableau de variations complet d'une fonction du second degré
• Le discriminant Δ = b² - 4ac et nombre de racines réelles
• Calcul des racines réelles et résolution de l'équation ax² + bx + c = 0
• Forme factorisée d'un polynôme du second degré
• Signe d'un polynôme du second degré et résolution d'inéquations
• Optimisation économique et technologique : modéliser un bénéfice ou une grandeur physique
• Intersection de la parabole avec une droite et résolution d'équations ax^2 + bx + c = mx + p
• Bilan : Synthèse et méthode sur Fonctions polynômes du second degré & Optimisation