Optimisation économique et technologique : modéliser un bénéfice ou une grandeur physique

1ère Technologique · Mathématiques 1ère Techno

À retenir

• Bénéfice : B(q) = R(q) - C(q). • Quantité optimale : q^* = -b/2a (abscisse du sommet ). • Valeur optimale : = B(q^*). • Seuils de rentabilité : racines de l'équation B(q) = 0.

Le cours

1. Problèmes d'optimisation en sciences et gestion En première technologique, optimiser consiste à déterminer la valeur de la variable qui maximise un profit ou qui minimise une contrainte (coût, perte, énergie). La méthode s'appuie sur le sommet de la parabole : • Modélisation du bénéfice : B(q) = R(q) - C(q) (Recette totale - Coût total). • Seuils de rentabilité (points morts) : Résolution de l'équation B(q) = 0 pour déterminer les quantités où l'activité ne dégage ni perte ni bénéfice. • Bénéfice maximal : Atteint au sommet de la parabole en q^* = -b/2a, de valeur maximale B(q^*). Courbe du bénéfice B(q) : seuils de rentabilité et profit maximal q (quantité) B(q) (€) Seuil 1 Seuil 2 Bénéfice maximal q* = -b/(2a) profit : B > 0 Exemple concret : Optimisation d'un atelier d'usinage de pièces mécaniques Une entreprise produit des arbres de transmission. Pour une production de q centaines d'arbres par mois (q [1 ; 20]), le bénéfice mensuel en milliers d'euros est : B(q) = -2q^2 + 40q - 98 1. Production optimale : a = -2 Bénéfice maximal : B(10) = -2(100) + 40(10) - 98 = -200 + 400 - 98 = 102 milliers d'euros (102 000 €).

Dans ce chapitre

• Développer, factoriser au 1er degré et fonction carré de Seconde
• Résolution d'équations produits-nuls et lectures graphiques de Seconde
• Identités remarquables et factorisations du second degré de Seconde
• Forme développée d'un polynôme du second degré et identification des coefficients a, b, c
• Parabole représentative, axe de symétrie et orientation selon le signe de a
• Forme canonique a(x - α)² + β et coordonnées du sommet S(α, β)
• Tableau de variations complet d'une fonction du second degré
• Le discriminant Δ = b² - 4ac et nombre de racines réelles
• Calcul des racines réelles et résolution de l'équation ax² + bx + c = 0
• Forme factorisée d'un polynôme du second degré
• Signe d'un polynôme du second degré et résolution d'inéquations
• Optimisation économique et technologique : modéliser un bénéfice ou une grandeur physique
• Intersection de la parabole avec une droite et résolution d'équations ax^2 + bx + c = mx + p
• Bilan : Synthèse et méthode sur Fonctions polynômes du second degré & Optimisation