Signe d'un polynôme du second degré et résolution d'inéquations

1ère Technologique · Mathématiques 1ère Techno

À retenir

• Règle d'or : Signe de a à l'extérieur des racines, signe de -a à l'intérieur. • Si 0, le trinôme garde le même signe que a sur tout R. • Pour résoudre une inéquation, on dresse impérativement le tableau de signes complet avant d'écrire l'intervalle solution.

Le cours

1. Règle fondamentale du signe du trinôme Le signe de f(x) = ax^2 + bx + c dépend de son discriminant et du signe de son coefficient a : « Un polynôme du second degré est TOUJOURS du signe de a, SAUF entre ses racines quand elles existent ( > 0). » Si > 0 (deux racines x_1 • Signe de a à l'extérieur des racines (]- ; x_1[ et ]x_2 ; +[). • Signe opposé de -a à l'intérieur (]x_1 ; x_2[). Si 0 : • f(x) est constamment du signe de a sur R (s'annule seulement en x_0 si = 0). Tableau de signes universel pour > 0 x -∞ x₁ x₂ +∞ f(x) Signe de a 0 Signe de -a 0 Signe de a Exemple concret : Plage de température de fonctionnement sécurisé Dans une enceinte thermique industrielle, l'indice d'instabilité d'une réaction chimique est donné par I(T) = -T^2 + 60T - 800. La réaction s'emballe si I(T) > 0. Résolvons -T^2 + 60T - 800 > 0 : = 60^2 - 4(-1)(-800) = 3600 - 3200 = 400 = 20 T_1 = -60 - 20/-2 = 40^C ; T_2 = -60 + 20/-2 = 20^C Comme a = -1 0 20 < T < 40 La réaction s'emballe pour une température strictement comprise entre 20\ ^C et 40\ ^C : l'opérateur doit maintenir T 20\ ^C ou T 40\ ^C.

Dans ce chapitre

• Développer, factoriser au 1er degré et fonction carré de Seconde
• Résolution d'équations produits-nuls et lectures graphiques de Seconde
• Identités remarquables et factorisations du second degré de Seconde
• Forme développée d'un polynôme du second degré et identification des coefficients a, b, c
• Parabole représentative, axe de symétrie et orientation selon le signe de a
• Forme canonique a(x - α)² + β et coordonnées du sommet S(α, β)
• Tableau de variations complet d'une fonction du second degré
• Le discriminant Δ = b² - 4ac et nombre de racines réelles
• Calcul des racines réelles et résolution de l'équation ax² + bx + c = 0
• Forme factorisée d'un polynôme du second degré
• Signe d'un polynôme du second degré et résolution d'inéquations
• Optimisation économique et technologique : modéliser un bénéfice ou une grandeur physique
• Intersection de la parabole avec une droite et résolution d'équations ax^2 + bx + c = mx + p
• Bilan : Synthèse et méthode sur Fonctions polynômes du second degré & Optimisation