Forme développée d'un polynôme du second degré et identification des coefficients a, b, c

1ère Technologique · Mathématiques 1ère Techno

À retenir

• Tout trinôme s'écrit f(x) = ax^2 + bx + c avec a 0. • Le coefficient a multiplie x^2, b multiplie x, et c est le terme constant isolé. • L'image de 0 est toujours égale à c : f(0) = c. Graphiquement, la parabole coupe l'axe des ordonnées au point (0, c).

Le cours

1. Définition de la forme développée Une fonction polynôme du second degré (ou trinôme) est une fonction f définie sur R pouvant s'écrire sous la forme développée et réduite : f(x) = ax^2 + bx + c où a, b et c sont des nombres réels fixés, avec la condition impérative a 0. Coefficient a Terme en x^2 (a 0) Coefficient b Terme linéaire en x Coefficient c Terme constant (f(0)) Anatomie de la forme développée f(x) = ax^2 + bx + c a x² degré 2 (a ≠ 0) + b x degré 1 + c constante = f(0) Exemple concret : Trajectoire balistique d'un drone livreur L'altitude z(t) (en mètres) d'un drone au cours d'un largage d'urgence est modélisée par : z(t) = -4,9t^2 + 19,6t + 50 Ici, la variable est le temps t en secondes. Les coefficients sont : a = -4,9 ; b = 19,6 ; c = 50 Le coefficient c = 50 représente l'altitude initiale à l'instant t = 0 s.

Dans ce chapitre

• Développer, factoriser au 1er degré et fonction carré de Seconde
• Résolution d'équations produits-nuls et lectures graphiques de Seconde
• Identités remarquables et factorisations du second degré de Seconde
• Forme développée d'un polynôme du second degré et identification des coefficients a, b, c
• Parabole représentative, axe de symétrie et orientation selon le signe de a
• Forme canonique a(x - α)² + β et coordonnées du sommet S(α, β)
• Tableau de variations complet d'une fonction du second degré
• Le discriminant Δ = b² - 4ac et nombre de racines réelles
• Calcul des racines réelles et résolution de l'équation ax² + bx + c = 0
• Forme factorisée d'un polynôme du second degré
• Signe d'un polynôme du second degré et résolution d'inéquations
• Optimisation économique et technologique : modéliser un bénéfice ou une grandeur physique
• Intersection de la parabole avec une droite et résolution d'équations ax^2 + bx + c = mx + p
• Bilan : Synthèse et méthode sur Fonctions polynômes du second degré & Optimisation