Forme canonique a(x - α)² + β et coordonnées du sommet S(α, β)

1ère Technologique · Mathématiques 1ère Techno

À retenir

• Forme canonique : f(x) = a(x - )^2 + . • Coordonnées du sommet : = -b/2a et = f(). • Si f(x) = 3(x - 4)^2 + 7, alors le sommet est S(4, 7). Attention au signe : (x - 4) = +4 !

Le cours

1. Définition de la forme canonique Toute fonction polynôme du second degré f(x) = ax^2 + bx + c peut s'écrire de manière unique sous la forme canonique : f(x) = a(x - )^2 + où et sont les coordonnées du sommet S(, ) de la parabole : Abscisse du sommet : = -b/2a L'axe de symétrie a pour équation x = . Ordonnée du sommet : = f() = f(-b/2a) C'est la valeur de l'extremum (minimum ou maximum). Repérage du sommet S(, ) sur la parabole x y x = α S(α, β) α β Exemple concret : Puissance électrique crête d'un panneau solaire La puissance délivrée P(U) en watts par une cellule photovoltaïque en fonction de la tension U en volts est donnée par la forme canonique : P(U) = -0,5(U - 18)^2 + 162 On lit directement : a = -0,5 ; = 18 V ; = 162 W La puissance maximale est donc de 162 W, atteinte lorsque la tension optimale de fonctionnement est de 18 volts.

Dans ce chapitre

• Développer, factoriser au 1er degré et fonction carré de Seconde
• Résolution d'équations produits-nuls et lectures graphiques de Seconde
• Identités remarquables et factorisations du second degré de Seconde
• Forme développée d'un polynôme du second degré et identification des coefficients a, b, c
• Parabole représentative, axe de symétrie et orientation selon le signe de a
• Forme canonique a(x - α)² + β et coordonnées du sommet S(α, β)
• Tableau de variations complet d'une fonction du second degré
• Le discriminant Δ = b² - 4ac et nombre de racines réelles
• Calcul des racines réelles et résolution de l'équation ax² + bx + c = 0
• Forme factorisée d'un polynôme du second degré
• Signe d'un polynôme du second degré et résolution d'inéquations
• Optimisation économique et technologique : modéliser un bénéfice ou une grandeur physique
• Intersection de la parabole avec une droite et résolution d'équations ax^2 + bx + c = mx + p
• Bilan : Synthèse et méthode sur Fonctions polynômes du second degré & Optimisation