Forme factorisée d'un polynôme du second degré

1ère Technologique · Mathématiques 1ère Techno

À retenir

• Si > 0 : P(x) = a(x - x_1)(x - x_2). • Si = 0 : P(x) = a(x - x_0)^2. • N'oubliez JAMAIS le facteur a devant les parenthèses. • Si < 0, aucune factorisation en produit de facteurs réels n'est possible.

Le cours

1. Règle de factorisation du trinôme La possibilité de factoriser le polynôme P(x) = ax^2 + bx + c dépend exclusivement du signe de son discriminant : Si > 0 (deux racines x_1 et x_2) : P(x) = a(x - x_1)(x - x_2) Si = 0 (une racine double x_0) : P(x) = a(x - x_0)^2 Si Le polynôme P(x) ne peut pas être factorisé en produit de facteurs du premier degré dans R. Structure de la forme factorisée : attention au coefficient a ! a Indispensable ! × (x - x₁) 1ère racine × (x - x₂) 2ème racine Exemple concret : Simplification d'un gain d'amplificateur électronique La fonction de transfert d'un filtre passe-bande fait intervenir le quotient H(p) = 2p^2 + 6p - 20/p - 2. Factorisons le numérateur N(p) = 2p^2 + 6p - 20 (a = 2) : = 6^2 - 4(2)(-20) = 36 + 160 = 196 = 14 p_1 = -6 - 14/4 = -5 ; p_2 = -6 + 14/4 = 2 La forme factorisée est donc : N(p) = 2(p + 5)(p - 2). On peut alors simplifier pour p 2 : H(p) = 2(p + 5)(p - 2)/p - 2 = 2(p + 5) = 2p + 10.

Dans ce chapitre

• Développer, factoriser au 1er degré et fonction carré de Seconde
• Résolution d'équations produits-nuls et lectures graphiques de Seconde
• Identités remarquables et factorisations du second degré de Seconde
• Forme développée d'un polynôme du second degré et identification des coefficients a, b, c
• Parabole représentative, axe de symétrie et orientation selon le signe de a
• Forme canonique a(x - α)² + β et coordonnées du sommet S(α, β)
• Tableau de variations complet d'une fonction du second degré
• Le discriminant Δ = b² - 4ac et nombre de racines réelles
• Calcul des racines réelles et résolution de l'équation ax² + bx + c = 0
• Forme factorisée d'un polynôme du second degré
• Signe d'un polynôme du second degré et résolution d'inéquations
• Optimisation économique et technologique : modéliser un bénéfice ou une grandeur physique
• Intersection de la parabole avec une droite et résolution d'équations ax^2 + bx + c = mx + p
• Bilan : Synthèse et méthode sur Fonctions polynômes du second degré & Optimisation