Calcul de la covariance et formule théorique de la pente des moindres carrés

1ère Technologique · Mathématiques 1ère Techno

À retenir

• **Covariance (formule développée)** : Cov(X, Y) = xy - xy • **Signe de la covariance** : - Cov(X, Y) > 0 : les variables varient dans le même sens (pente positive). - Cov(X, Y) < 0 : les variables varient en sens inverse (pente négative). • **Formule de la pente des moindres carrés** : a = Cov(X, Y)V(X) = xy - xyx^2 - x^2

Le cours

La covariance de deux variables statistiques X et Y, notée Cov(X, Y) ou _xy, mesure la manière dont les deux grandeurs varient conjointement : Cov(X, Y) = 1/n (x_i - x)(y_i - y) = xy - xy. La pente de la droite d'ajustement linéaire des moindres carrés y = ax + b est le quotient de la covariance par la variance de X : a = Cov(X, Y)V(X). Deux écritures de la covariance Cov(X, Y) = 1/n_i=1^n(x_i - x)(y_i - y) = xy - x\,y La variance de X en est un cas particulier : V(X) = Cov(X, X) = x^2 - x^2, toujours positive. La pente vaut donc a = Cov(X, Y)V(X) et a le signe de la covariance ; l'ordonnée à l'origine s'en déduit par b = y - ax. En pratique, la calculatrice ou le tableur donne directement a et b : ces formules expliquent d'où viennent ces valeurs. Méthode avec un tableau de calcul 1. Compléter les colonnes x_i, y_i, x_i^2 et x_i y_i. 2. Calculer les moyennes x, y, x^2 et xy. 3. En déduire V(X) et Cov(X, Y), puis a et b. Mini-exemple : x = 1, 2, 3, 4 et y = 2, 3, 5, 6. On a x = 2,5, y = 4, x^2 = 30/4 = 7,5 et xy = 47/4 = 11,75, d'où V(X) = 7,5 - 6,25 = 1,25, Cov(X, Y) = 11,75 - 10 = 1,75, a = 1,751,25 = 1,4 et b = 4 - 1,4 2,5 = 0,5. Attention Certaines fonctions de tableur divisent par n - 1 au lieu de n. Utilise la même convention pour la covariance et pour la variance : la pente, quotient des deux, reste alors juste.

Dans ce chapitre

• Statistiques à une variable, moyenne et fréquences de Seconde
• Équation d'une droite passant par deux points et coordonnées de Seconde
• Médiane, quartiles et diagramme en boîte à moustaches de Seconde
• Série statistique à deux variables et nuage de points
• Coordonnées du point moyen G(x̄, ȳ) et placement sur le graphique
• Corrélation linéaire et pertinence d'un ajustement affine
• Droite d'ajustement affine des moindres carrés y = ax + b (calculatrice / tableur)
• Droite de Mayer (méthode de partage en deux sous-groupes)
• Interpolation et estimation de valeurs au sein de la plage expérimentale
• Extrapolation, prévisions technologiques et limites de validité du modèle
• Calcul de la covariance et formule théorique de la pente des moindres carrés
• Résidus d'ajustement et écarts verticaux entre valeurs observées et valeurs ajustées
• Coefficient de détermination R^2 et qualité globale d'un modèle d'ajustement
• Bilan : Synthèse et méthode sur Statistiques à deux variables & Ajustement affine