Coefficient de détermination R^2 et qualité globale d'un modèle d'ajustement

1ère Technologique · Mathématiques 1ère Techno

À retenir

• **Définition** : R^2 = r^2 avec 0 R^2 1. • **Interprétation en pourcentage** : R^2 100\% représente la part de la variabilité de Y expliquée par la variable X via le modèle linéaire. • **Repères usuels d'appréciation** : - R^2 0,90 : ajustement d'excellente qualité, prévisions fiables. - 0,75 R^2 < 0,90 : corrélation notable, modèle utilisable avec prudence. - 0,50 R^2 < 0,75 : liaison linéaire modérée, prévisions peu précises. - R^2 < 0,50 : le modèle linéaire n'explique pas les données (modèle inadapté ou absence de lien).

Le cours

Le coefficient de détermination, noté R^2, est le carré du coefficient de corrélation linéaire r : R^2 = r^2. Compris entre 0 et 1, il mesure la proportion de la variance de la variable Y expliquée par le modèle d'ajustement linéaire par rapport à la variance totale : R^2 = 1 - e_i^2 (y_i - y)^2. Plus R^2 est proche de 1 (par exemple R^2 > 0,90), plus le modèle linéaire est fiable et pertinent. Deux façons d'obtenir R^2 • Pour la droite des moindres carrés, la calculatrice affiche r et l'on calcule R^2 = r^2. • À partir des résidus : R^2 = 1 - e_i^2 (y_i - y)^2. Le quotient est la part de la variabilité de y que la droite n'explique pas. Mini-exemples 1. La calculatrice affiche r = 0,9 : R^2 = 0,81. Le modèle affine explique 81\ \% de la variabilité de y ; 19\ \% restent dus aux erreurs de mesure ou à d'autres facteurs. 2. Pour les points (1 ; 3), (2 ; 5), (3 ; 8), la droite des moindres carrés donne e_i^2 = 1/6 et (y_i - y)^2 = 38/3, d'où R^2 = 1 - 1/76 0,987. Attention Un R^2 proche de 1 ne prouve aucun lien de cause à effet et ne garantit pas une extrapolation lointaine. Les seuils d'appréciation (0,90, 0,75…) sont des repères usuels, pas des règles officielles : l'examen du nuage reste indispensable.

Dans ce chapitre

• Statistiques à une variable, moyenne et fréquences de Seconde
• Équation d'une droite passant par deux points et coordonnées de Seconde
• Médiane, quartiles et diagramme en boîte à moustaches de Seconde
• Série statistique à deux variables et nuage de points
• Coordonnées du point moyen G(x̄, ȳ) et placement sur le graphique
• Corrélation linéaire et pertinence d'un ajustement affine
• Droite d'ajustement affine des moindres carrés y = ax + b (calculatrice / tableur)
• Droite de Mayer (méthode de partage en deux sous-groupes)
• Interpolation et estimation de valeurs au sein de la plage expérimentale
• Extrapolation, prévisions technologiques et limites de validité du modèle
• Calcul de la covariance et formule théorique de la pente des moindres carrés
• Résidus d'ajustement et écarts verticaux entre valeurs observées et valeurs ajustées
• Coefficient de détermination R^2 et qualité globale d'un modèle d'ajustement
• Bilan : Synthèse et méthode sur Statistiques à deux variables & Ajustement affine