Droite d'ajustement affine des moindres carrés y = ax + b (calculatrice / tableur)

1ère Technologique · Mathématiques 1ère Techno

À retenir

• Équation : y = ax + b. • La droite des moindres carrés passe par le point moyen G(x, y). • Relation essentielle : y = ax + b, d'où b = y - ax.

Le cours

1. La droite des moindres carrés (DMC) La droite d'ajustement de y en x par la méthode des moindres carrés est la droite qui rend minimale la somme des carrés des écarts verticaux entre les points réels du nuage et la droite : y = ax + b • Obtention des coefficients : En pratique en 1ère Technologique, les coefficients a et b s'obtiennent directement à l'aide de la calculatrice (menu Statistiques 2-Var ➜ Régression Linéaire ax+b) ou d'un tableur. • Propriété fondamentale : La droite des moindres carrés passe TOUJOURS par le point moyen G(x, y) : y = ax + b b = y - ax Droite des moindres carrés minimisant les écarts verticaux d_i G(x̄, ȳ) y = ax + b Exemple concret : Régression sur la résistance thermique d'un isolant Les relevés d'épaisseur x (en cm) et de résistance thermique y (en m^2K/W) donnent après saisie à la calculatrice : a = 0,25 ; b = 0,10 L'équation de la droite des moindres carrés est y = 0,25x + 0,10. Pour une épaisseur de 12 cm, la résistance estimée est y = 0,25(12) + 0,10 = 3,1 m^2K/W.

Dans ce chapitre

• Statistiques à une variable, moyenne et fréquences de Seconde
• Équation d'une droite passant par deux points et coordonnées de Seconde
• Médiane, quartiles et diagramme en boîte à moustaches de Seconde
• Série statistique à deux variables et nuage de points
• Coordonnées du point moyen G(x̄, ȳ) et placement sur le graphique
• Corrélation linéaire et pertinence d'un ajustement affine
• Droite d'ajustement affine des moindres carrés y = ax + b (calculatrice / tableur)
• Droite de Mayer (méthode de partage en deux sous-groupes)
• Interpolation et estimation de valeurs au sein de la plage expérimentale
• Extrapolation, prévisions technologiques et limites de validité du modèle
• Calcul de la covariance et formule théorique de la pente des moindres carrés
• Résidus d'ajustement et écarts verticaux entre valeurs observées et valeurs ajustées
• Coefficient de détermination R^2 et qualité globale d'un modèle d'ajustement
• Bilan : Synthèse et méthode sur Statistiques à deux variables & Ajustement affine