Résidus d'ajustement et écarts verticaux entre valeurs observées et valeurs ajustées

1ère Technologique · Mathématiques 1ère Techno

À retenir

• **Définition du résidu** : e_i = y_i - y_i = y_i - (ax_i + b). • **Propriété fondamentale des moindres carrés** : _i=1^n e_i = 0 e = 0 • **Critère d'optimisation** : La droite des moindres carrés minimise la somme des carrés des résidus S = _i=1^n e_i^2.

Le cours

Pour chaque point expérimental M_i(x_i, y_i), la valeur ajustée donnée par le modèle y = ax + b est y_i = ax_i + b. Le résidu associé est l'écart vertical e_i = y_i - y_i. Un résidu positif indique que la valeur réelle est au-dessus de la droite, tandis qu'un résidu négatif indique qu'elle est en dessous. La méthode des moindres carrés garantit que la somme des résidus est rigoureusement nulle : _i=1^n e_i = 0. Valeur ajustée et résidu y_i = a x_i + b e_i = y_i - y_i Le résidu se lit verticalement sur le graphique : c'est la longueur (avec un signe) du segment qui relie le point M_i au point de même abscisse sur la droite. Un résidu nul signifie que le point est exactement sur la droite. Méthode : tableau des résidus 1. Pour chaque x_i, calculer la valeur ajustée y_i = a x_i + b. 2. Calculer le résidu e_i = y_i - y_i (observé moins ajusté). 3. Calculer S = e_i^2 pour comparer deux droites : la meilleure au sens des moindres carrés a le plus petit S. Mini-exemple : droite y = 2x + 1 et point mesuré (3 ; 6,4). On a y = 7, donc e = 6,4 - 7 = -0,6 : le point est 0,6 unité sous la droite. Lire les résidus Des résidus petits et de signes mélangés au hasard confirment l'ajustement affine. S'ils dessinent une tendance (par exemple positifs aux deux extrémités et négatifs au milieu), le nuage est courbé : une droite est mal adaptée.

Dans ce chapitre

• Statistiques à une variable, moyenne et fréquences de Seconde
• Équation d'une droite passant par deux points et coordonnées de Seconde
• Médiane, quartiles et diagramme en boîte à moustaches de Seconde
• Série statistique à deux variables et nuage de points
• Coordonnées du point moyen G(x̄, ȳ) et placement sur le graphique
• Corrélation linéaire et pertinence d'un ajustement affine
• Droite d'ajustement affine des moindres carrés y = ax + b (calculatrice / tableur)
• Droite de Mayer (méthode de partage en deux sous-groupes)
• Interpolation et estimation de valeurs au sein de la plage expérimentale
• Extrapolation, prévisions technologiques et limites de validité du modèle
• Calcul de la covariance et formule théorique de la pente des moindres carrés
• Résidus d'ajustement et écarts verticaux entre valeurs observées et valeurs ajustées
• Coefficient de détermination R^2 et qualité globale d'un modèle d'ajustement
• Bilan : Synthèse et méthode sur Statistiques à deux variables & Ajustement affine