Expérience aléatoire, univers et calculs de probabilités simples de Seconde

1ère Technologique · Mathématiques 1ère Techno

À retenir

• **Univers** : ensemble de toutes les issues ; un **événement** est une partie de . • **Loi de probabilité** : 0 P(A) 1 et la somme des probabilités de toutes les issues vaut 1. • **Équiprobabilité** (formule de Laplace) : P(A) = Card(A)Card(). • **Contraire et réunion** : P(A) = 1 - P(A) et P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B).

Le cours

Une expérience aléatoire produit des issues dont l'ensemble constitue l'univers . Un événement A est un sous-ensemble de . Dans une situation d'équiprobabilité où chaque issue a la même probabilité d'apparaître, la probabilité de A est donnée par la formule de Laplace : P(A) = nombre d'issues favorablesnombre total d'issues de . Pour deux événements quelconques, la probabilité de la réunion est P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B). Vocabulaire de base • Expérience aléatoire : on connaît toutes les issues possibles, mais on ne peut pas prévoir laquelle se produira. • Univers : ensemble de toutes les issues. Événement : partie de ; il est élémentaire s'il ne contient qu'une issue, certain s'il est égal à , impossible s'il est vide (). • Loi de probabilité : chaque issue reçoit une probabilité entre 0 et 1, et la somme des probabilités de toutes les issues vaut 1. La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des issues qui le composent. Mini-exemple : un dé équilibré Univers : = \1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6\, six issues équiprobables de probabilité 1/6. Événement A « obtenir au moins 5 » : A = \5 ; 6\, donc P(A) = 2/6 = 1/3. Événement contraire A « obtenir au plus 4 » : P(A) = 1 - 1/3 = 2/3. Attention La formule « cas favorables sur cas possibles » n'est valable qu'en situation d'équiprobabilité : elle ne s'applique ni à une pièce truquée, ni aux sommes obtenues avec deux dés (voir l'exemple 3).

Dans ce chapitre

• Vocabulaire des probabilités, réunion, intersection et équiprobabilité de Seconde
• Tableaux à double entrée d'effectifs et fréquences marginales de Seconde
• Expérience aléatoire, univers et calculs de probabilités simples de Seconde
• Définition de la probabilité conditionnelle P_A(B) et calcul dans un tableau
• Construction d'un arbre pondéré et règle des nœuds
• Calcul de la probabilité d'une intersection : P(A B) = P(A) P_A(B)
• Formule des probabilités totales avec une partition de l'univers
• Inversion du conditionnement : diagnostic médical et contrôle qualité en laboratoire
• Indépendance de deux événements : critères et distinction avec incompatibilité
• Variable aléatoire discrète et tableau de loi de probabilité
• Espérance mathématique E(X) et interprétation (gain moyen, rentabilité)
• Variance et écart-type d'une variable aléatoire discrète en contexte technologique
• Modélisation d'une situation industrielle par variable aléatoire et optimisation de gain
• Bilan : Synthèse et méthode sur Probabilités conditionnelles & Arbres pondérés