Inversion du conditionnement : diagnostic médical et contrôle qualité en laboratoire

1ère Technologique · Mathématiques 1ère Techno

À retenir

• Inversion du conditionnement : P_T(M) = P(M T)/P(T). • Le dénominateur P(T) s'obtient le plus souvent par la formule des probabilités totales. • La valeur prédictive dépend fortement de la prévalence P(M) de l'anomalie.

Le cours

1. Inverser le conditionnement (Formule de Bayes) L'inversion du conditionnement permet de répondre à la question essentielle du diagnostic : sachant que le test ou l'alarme est positif (T), quelle est la probabilité que la pièce soit réellement défectueuse (ou que l'individu soit réellement malade M) ? P_T(M) = P(M T)/P(T) = P(M) P_M(T)/P(T) Le paradoxe des faux positifs : Même avec un test très fiable (99\,\% de sensibilité et spécificité), si une anomalie est très rare dans la population (ex : 0,1\,\%), la grande majorité des alertes positives proviennent en réalité de personnes saines (P_T(M) peut être inférieur à 50\,\% !). Sens direct (fabricant du test) vs Sens inverse (praticien / contrôle qualité) État réel M (Malade / Défectueux) P_M(T) (Sensibilité) P_T(M) (Diagnostic) Signal T (Test / Alerte positif) Exemple concret : Dépistage biologique en laboratoire STL / ST2S Une maladie touche 1\,\% d'une population (P(M) = 0,01). Un test donne : • P_M(T) = 0,99 (vrais positifs) • P_M(T) = 0,02 (faux positifs parmi les sains) 1. Probabilité totale d'un test positif : P(T) = 0,01 0,99 + 0,99 0,02 = 0,0099 + 0,0198 = 0,0297 2. Valeur prédictive positive (probabilité d'être malade si le test est positif) : P_T(M) = P(M T)/P(T) = 0,00990,0297 = 1/3 33,3\,\% Seul un tiers des personnes testées positives sont réellement malades !

Dans ce chapitre

• Vocabulaire des probabilités, réunion, intersection et équiprobabilité de Seconde
• Tableaux à double entrée d'effectifs et fréquences marginales de Seconde
• Expérience aléatoire, univers et calculs de probabilités simples de Seconde
• Définition de la probabilité conditionnelle P_A(B) et calcul dans un tableau
• Construction d'un arbre pondéré et règle des nœuds
• Calcul de la probabilité d'une intersection : P(A B) = P(A) P_A(B)
• Formule des probabilités totales avec une partition de l'univers
• Inversion du conditionnement : diagnostic médical et contrôle qualité en laboratoire
• Indépendance de deux événements : critères et distinction avec incompatibilité
• Variable aléatoire discrète et tableau de loi de probabilité
• Espérance mathématique E(X) et interprétation (gain moyen, rentabilité)
• Variance et écart-type d'une variable aléatoire discrète en contexte technologique
• Modélisation d'une situation industrielle par variable aléatoire et optimisation de gain
• Bilan : Synthèse et méthode sur Probabilités conditionnelles & Arbres pondérés