Formule des probabilités totales avec une partition de l'univers

1ère Technologique · Mathématiques 1ère Techno

À retenir

• Formule des probabilités totales : P(B) = P(A) P_A(B) + P(A) P_A(B). • Elle s'applique lorsque \A, A\ partitionne l'univers. • Sur l'arbre : on additionne les résultats des chemins se terminant par l'événement B.

Le cours

1. La formule des probabilités totales Lorsque les événements A et A forment une partition de l'univers (ils sont disjoints et leur réunion forme ), la probabilité de tout événement B s'obtient en additionnant les probabilités des chemins qui mènent à B : P(B) = P(A B) + P(A B) P(B) = P(A) P_A(B) + P(A) P_A(B) Généralisation : Si (A_1, A_2, , A_k) forment une partition de l'univers (ex : production issue de 3 machines 1, 2 et 3) : P(B) = _i=1^k P(A_i B) = _i=1^k P(A_i) P_A_i(B) Probabilités totales : somme des deux chemins menant à B B ➜ P(A ∩ B) B̄ B ➜ P(Ā ∩ B) B̄ A Ā P(B) = Somme Exemple concret : Taux global de défectuosité sur deux lignes de montage Une usine fabrique des moteurs sur deux lignes : • Ligne 1 : produit 60\,\% des moteurs (P(L_1) = 0,60), avec 2\,\% de rebuts (P_L_1(R) = 0,02). • Ligne 2 : produit 40\,\% des moteurs (P(L_2) = 0,40), avec 5\,\% de rebuts (P_L_2(R) = 0,05). Par la formule des probabilités totales : P(R) = P(L_1 R) + P(L_2 R) = 0,60 0,02 + 0,40 0,05 = 0,012 + 0,020 = 0,032 Le taux global de moteurs rebutés est de 3,2\,\%.

Dans ce chapitre

• Vocabulaire des probabilités, réunion, intersection et équiprobabilité de Seconde
• Tableaux à double entrée d'effectifs et fréquences marginales de Seconde
• Expérience aléatoire, univers et calculs de probabilités simples de Seconde
• Définition de la probabilité conditionnelle P_A(B) et calcul dans un tableau
• Construction d'un arbre pondéré et règle des nœuds
• Calcul de la probabilité d'une intersection : P(A B) = P(A) P_A(B)
• Formule des probabilités totales avec une partition de l'univers
• Inversion du conditionnement : diagnostic médical et contrôle qualité en laboratoire
• Indépendance de deux événements : critères et distinction avec incompatibilité
• Variable aléatoire discrète et tableau de loi de probabilité
• Espérance mathématique E(X) et interprétation (gain moyen, rentabilité)
• Variance et écart-type d'une variable aléatoire discrète en contexte technologique
• Modélisation d'une situation industrielle par variable aléatoire et optimisation de gain
• Bilan : Synthèse et méthode sur Probabilités conditionnelles & Arbres pondérés