Variable aléatoire discrète et tableau de loi de probabilité

1ère Technologique · Mathématiques 1ère Techno

À retenir

• Une variable aléatoire X quantifie numériquement chaque issue d'une expérience aléatoire. • La loi de probabilité est définie par les couples (x_i, P(X = x_i)). • Condition de cohérence absolue : _i=1^k P(X = x_i) = 1.

Le cours

1. Définition et tableau de la loi de probabilité Une variable aléatoire discrète X est une fonction qui associe un nombre réel à chaque issue possible d'une expérience aléatoire (ex : nombre de pièces défectueuses, gain en euros, durée de panne). • Notons \x_1, x_2, , x_k\ l'ensemble des valeurs prises par X. • Donner la loi de probabilité de X, c'est associer à chaque valeur x_i sa probabilité p_i = P(X = x_i) dans un tableau : Valeurs x_i x_1 x_2 x_k Total P(X = x_i) p_1 p_2 p_k 1 Loi de probabilité : condition de clôture p_i = 1 X = x₁ p₁ = 0,2 + X = x₂ p₂ = 0,5 + X = x₃ p₃ = 0,3 Exemple concret : Indemnités de garantie pour pièces sous contrat Un fabricant garantit un appareil électromécanique : • Aucun défaut (probabilité 0,90) : coût 0 €. • Défaut mineur (probabilité 0,08) : coût 50 €. • Défaut majeur (probabilité 0,02) : coût 300 €. La variable aléatoire X représentant le coût prend les valeurs \0 ; 50 ; 300\ avec les probabilités associées \0,90 ; 0,08 ; 0,02\. On a bien 0,90 + 0,08 + 0,02 = 1.

Dans ce chapitre

• Vocabulaire des probabilités, réunion, intersection et équiprobabilité de Seconde
• Tableaux à double entrée d'effectifs et fréquences marginales de Seconde
• Expérience aléatoire, univers et calculs de probabilités simples de Seconde
• Définition de la probabilité conditionnelle P_A(B) et calcul dans un tableau
• Construction d'un arbre pondéré et règle des nœuds
• Calcul de la probabilité d'une intersection : P(A B) = P(A) P_A(B)
• Formule des probabilités totales avec une partition de l'univers
• Inversion du conditionnement : diagnostic médical et contrôle qualité en laboratoire
• Indépendance de deux événements : critères et distinction avec incompatibilité
• Variable aléatoire discrète et tableau de loi de probabilité
• Espérance mathématique E(X) et interprétation (gain moyen, rentabilité)
• Variance et écart-type d'une variable aléatoire discrète en contexte technologique
• Modélisation d'une situation industrielle par variable aléatoire et optimisation de gain
• Bilan : Synthèse et méthode sur Probabilités conditionnelles & Arbres pondérés