Variance et écart-type d'une variable aléatoire discrète en contexte technologique

1ère Technologique · Mathématiques 1ère Techno

À retenir

• **Formule de Koenig-Huygens** : V(X) = _i=1^k p_i x_i^2 - [E(X)]^2 • **Écart-type** : (X) = V(X) (s'exprime dans la même unité que X). • **Propriétés de transformation affine** : - V(aX + b) = a^2 V(X) - (aX + b) = |a| (X).

Le cours

Pour une variable aléatoire discrète X prenant les valeurs x_i avec les probabilités p_i, la variance V(X) mesure la dispersion quadratique des valeurs autour de l'espérance E(X). D'après la formule de Koenig-Huygens, V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = p_i x_i^2 - (E(X))^2. L'écart-type est (X) = V(X). En ingénierie et production, l'écart-type quantifie la variabilité ou le risque d'un processus. Définition et formule de calcul V(X) = _i=1^k p_i\,(x_i - E(X))^2 = _i=1^k p_i x_i^2 - E(X)^2 La première écriture est la définition : moyenne pondérée des carrés des écarts à l'espérance. La seconde est plus rapide à la main. L'écart-type (X) = V(X) s'exprime dans l'unité de X. Méthode avec un tableau 1. Écrire les lignes x_i et p_i, puis ajouter les lignes x_i p_i et x_i^2 p_i. 2. La somme de la ligne x_i p_i donne E(X) ; celle de la ligne x_i^2 p_i donne E(X^2). 3. Calculer V(X) = E(X^2) - E(X)^2, puis (X). Mini-exemple : X vaut 0 ou 10 avec la probabilité 0,5 chacune. E(X) = 5, E(X^2) = 0,5 100 = 50, V(X) = 50 - 25 = 25 et (X) = 5 : chaque valeur est à 5 unités de l'espérance. Interpréter À espérance égale, le processus de plus petit écart-type est le plus régulier. Une variance s'exprime dans l'unité au carré : pour comparer à l'espérance, utilise l'écart-type.

Dans ce chapitre

• Vocabulaire des probabilités, réunion, intersection et équiprobabilité de Seconde
• Tableaux à double entrée d'effectifs et fréquences marginales de Seconde
• Expérience aléatoire, univers et calculs de probabilités simples de Seconde
• Définition de la probabilité conditionnelle P_A(B) et calcul dans un tableau
• Construction d'un arbre pondéré et règle des nœuds
• Calcul de la probabilité d'une intersection : P(A B) = P(A) P_A(B)
• Formule des probabilités totales avec une partition de l'univers
• Inversion du conditionnement : diagnostic médical et contrôle qualité en laboratoire
• Indépendance de deux événements : critères et distinction avec incompatibilité
• Variable aléatoire discrète et tableau de loi de probabilité
• Espérance mathématique E(X) et interprétation (gain moyen, rentabilité)
• Variance et écart-type d'une variable aléatoire discrète en contexte technologique
• Modélisation d'une situation industrielle par variable aléatoire et optimisation de gain
• Bilan : Synthèse et méthode sur Probabilités conditionnelles & Arbres pondérés