Espérance mathématique E(X) et interprétation (gain moyen, rentabilité)

1ère Technologique · Mathématiques 1ère Techno

À retenir

• Formule : E(X) = x_i p_i. • L'espérance possède la même unité que la variable X (euros, minutes, pièces). • Un jeu est équitable si E(X) = 0.

Le cours

1. Définition et calcul de l'espérance mathématique L'espérance mathématique d'une variable aléatoire discrète X, notée E(X), est la moyenne pondérée de toutes les valeurs prises par X, chacune pondérée par sa probabilité : E(X) = _i=1^k x_i P(X = x_i) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + + x_k p_k Interprétation concrète : E(X) représente la valeur que l'on peut espérer obtenir en moyenne par épreuve si l'on répète l'expérience un très grand nombre de fois. • En gestion/assurance : coût moyen par sinistre ou rentabilité moyenne par contrat. • En jeu : un jeu est dit équitable si E(X) = 0. L'espérance E(X) : point d'équilibre de la balance des probabilités E(X) (Point d'équilibre) p₁ x₁ p₂ x₂ Exemple concret : Tarification d'une extension de garantie Reprenons l'exemple des garanties : X \0 ; 50 ; 300\ avec probabilités \0,90 ; 0,08 ; 0,02\. E(X) = 0 0,90 + 50 0,08 + 300 0,02 = 0 + 4 + 6 = 10 € En moyenne, chaque appareil vendu coûte 10 € d'indemnité au constructeur. Pour que l'extension de garantie soit rentable, le constructeur doit la facturer plus de 10 € au client (par exemple 19 €).

Dans ce chapitre

• Vocabulaire des probabilités, réunion, intersection et équiprobabilité de Seconde
• Tableaux à double entrée d'effectifs et fréquences marginales de Seconde
• Expérience aléatoire, univers et calculs de probabilités simples de Seconde
• Définition de la probabilité conditionnelle P_A(B) et calcul dans un tableau
• Construction d'un arbre pondéré et règle des nœuds
• Calcul de la probabilité d'une intersection : P(A B) = P(A) P_A(B)
• Formule des probabilités totales avec une partition de l'univers
• Inversion du conditionnement : diagnostic médical et contrôle qualité en laboratoire
• Indépendance de deux événements : critères et distinction avec incompatibilité
• Variable aléatoire discrète et tableau de loi de probabilité
• Espérance mathématique E(X) et interprétation (gain moyen, rentabilité)
• Variance et écart-type d'une variable aléatoire discrète en contexte technologique
• Modélisation d'une situation industrielle par variable aléatoire et optimisation de gain
• Bilan : Synthèse et méthode sur Probabilités conditionnelles & Arbres pondérés