Calcul de la probabilité d'une intersection : P(A B) = P(A) P_A(B)

1ère Technologique · Mathématiques 1ère Techno

À retenir

• Règle du produit : P(A B) = P(A) P_A(B). • Sur un arbre : on multiplie les probabilités le long du chemin qui mène à l'intersection. • Formule symétrique : P(A B) = P(B) P_B(A).

Le cours

1. Règle du produit (ou règle des chemins) En multipliant les deux membres de la définition de P_A(B) par P(A), on obtient la formule du produit : P(A B) = P(A) P_A(B) Règle des chemins dans un arbre : La probabilité d'une issue associée à un chemin complet est égale au produit des probabilités portées par toutes les branches de ce chemin. Calcul d'intersection le long d'un chemin : produit des branches P(A) A P_A(B) B P(A ∩ B) Ā Exemple concret : Défaillance conjointe d'un relais électrique Dans une armoire électrique, la probabilité d'une surtension est P(S) = 0,05. En cas de surtension, la probabilité que le fusible thermique fonde est P_S(F) = 0,90. La probabilité que les deux événements surviennent simultanément (surtension ET fusion du fusible) est : P(S F) = P(S) P_S(F) = 0,05 0,90 = 0,045 = 4,5\,\%

Dans ce chapitre

• Vocabulaire des probabilités, réunion, intersection et équiprobabilité de Seconde
• Tableaux à double entrée d'effectifs et fréquences marginales de Seconde
• Expérience aléatoire, univers et calculs de probabilités simples de Seconde
• Définition de la probabilité conditionnelle P_A(B) et calcul dans un tableau
• Construction d'un arbre pondéré et règle des nœuds
• Calcul de la probabilité d'une intersection : P(A B) = P(A) P_A(B)
• Formule des probabilités totales avec une partition de l'univers
• Inversion du conditionnement : diagnostic médical et contrôle qualité en laboratoire
• Indépendance de deux événements : critères et distinction avec incompatibilité
• Variable aléatoire discrète et tableau de loi de probabilité
• Espérance mathématique E(X) et interprétation (gain moyen, rentabilité)
• Variance et écart-type d'une variable aléatoire discrète en contexte technologique
• Modélisation d'une situation industrielle par variable aléatoire et optimisation de gain
• Bilan : Synthèse et méthode sur Probabilités conditionnelles & Arbres pondérés