Modélisation d'une situation industrielle par variable aléatoire et optimisation de gain

1ère Technologique · Mathématiques 1ère Techno

À retenir

• **Définition de la variable de gain** : G = Recette - Coûts de revient et de non-qualité. • **Arbre de décision** : Recenser chaque issue de production (conforme, retouchable, rebut), sa probabilité et son gain associé g_i. • **Espérance de gain** : E(G) = p_i g_i. • **Condition de rentabilité** : Le processus est rentable si et seulement si E(G) > 0.

Le cours

En gestion industrielle et technologique, une variable aléatoire permet de modéliser le bilan financier d'un processus de fabrication en tenant compte des probabilités de conformité, de retouche et de rebut. L'espérance du gain algébrique traduit le bénéfice moyen par pièce produite. L'optimisation consiste à ajuster un paramètre de réglage (seuil de tolérance, coût de contrôle) pour maximiser ce bénéfice moyen. Méthode de modélisation en cinq étapes 1. Définir la variable G : gain net par pièce, en euros. 2. Lister les issues (conforme, retouchée, rebut) et leurs probabilités, à l'aide d'un arbre s'il y a plusieurs contrôles. 3. Calculer le gain de chaque issue : recette moins tous les coûts (fabrication, retouche, contrôle). 4. Dresser le tableau de la loi de G et vérifier que la somme des probabilités vaut 1. 5. Calculer E(G), l'interpréter, puis multiplier par le nombre de pièces pour une production entière. Mini-exemple Une pièce vendue 20 € coûte 12 € à fabriquer ; 95\ \% sont conformes et 5\ \% partent au rebut. Le gain vaut 8 € ou -12 €, donc E(G) = 8 0,95 + (-12) 0,05 = 7,6 - 0,6 = 7 € par pièce. Optimiser un réglage Pour comparer deux réglages, recalcule le gain de chaque issue en y incluant le coût de l'amélioration, puis compare les deux espérances. E(G) est une moyenne sur un grand nombre de pièces : sur une pièce donnée, le gain est l'une des valeurs du tableau.

Dans ce chapitre

• Vocabulaire des probabilités, réunion, intersection et équiprobabilité de Seconde
• Tableaux à double entrée d'effectifs et fréquences marginales de Seconde
• Expérience aléatoire, univers et calculs de probabilités simples de Seconde
• Définition de la probabilité conditionnelle P_A(B) et calcul dans un tableau
• Construction d'un arbre pondéré et règle des nœuds
• Calcul de la probabilité d'une intersection : P(A B) = P(A) P_A(B)
• Formule des probabilités totales avec une partition de l'univers
• Inversion du conditionnement : diagnostic médical et contrôle qualité en laboratoire
• Indépendance de deux événements : critères et distinction avec incompatibilité
• Variable aléatoire discrète et tableau de loi de probabilité
• Espérance mathématique E(X) et interprétation (gain moyen, rentabilité)
• Variance et écart-type d'une variable aléatoire discrète en contexte technologique
• Modélisation d'une situation industrielle par variable aléatoire et optimisation de gain
• Bilan : Synthèse et méthode sur Probabilités conditionnelles & Arbres pondérés