Indépendance de deux événements : critères et distinction avec incompatibilité

1ère Technologique · Mathématiques 1ère Techno

À retenir

• Critère d'indépendance : P(A B) = P(A) P(B). • Équivaut à P_A(B) = P(B). • Deux événements incompatibles (A B = ) ne sont PAS indépendants (si l'un arrive, l'autre est impossible !).

Le cours

1. Définition mathématique de l'indépendance Deux événements A et B sont dits indépendants lorsque la réalisation de l'un ne modifie en rien la probabilité de réalisation de l'autre : P(A B) = P(A) P(B) Ce qui équivaut, lorsque P(A) > 0, à : P_A(B) = P(B). Distinction capitale : Indépendants vs Incompatibles • Incompatibles (disjoints) : Ne peuvent JAMAIS se produire en même temps : A B = P(A B) = 0. • Indépendants : Peuvent se produire ensemble, avec P(A B) = P(A) P(B), produit non nul dès que P(A) > 0 et P(B) > 0. Deux événements de probabilités non nulles ne peuvent JAMAIS être simultanément indépendants et incompatibles ! Comparaison graphique : Incompatibles (A B = ) vs Indépendants (A B ) Incompatibles (Disjoints) A B A ∩ B = ∅ ➜ P = 0 Indépendants A B P(A ∩ B) = P(A) · P(B) Exemple concret : Redondance de serveurs informatiques Deux serveurs redondants fonctionnent de façon totalement indépendante. Chacun a une probabilité de panne annuelle de 0,01. Puisque les pannes sont indépendantes : P(Panne 1 Panne 2) = P(Panne 1) P(Panne 2) = 0,01 0,01 = 0,0001 La probabilité d'une interruption simultanée du service n'est que de 0,01\,\% (1 chance sur 10 000).

Dans ce chapitre

• Vocabulaire des probabilités, réunion, intersection et équiprobabilité de Seconde
• Tableaux à double entrée d'effectifs et fréquences marginales de Seconde
• Expérience aléatoire, univers et calculs de probabilités simples de Seconde
• Définition de la probabilité conditionnelle P_A(B) et calcul dans un tableau
• Construction d'un arbre pondéré et règle des nœuds
• Calcul de la probabilité d'une intersection : P(A B) = P(A) P_A(B)
• Formule des probabilités totales avec une partition de l'univers
• Inversion du conditionnement : diagnostic médical et contrôle qualité en laboratoire
• Indépendance de deux événements : critères et distinction avec incompatibilité
• Variable aléatoire discrète et tableau de loi de probabilité
• Espérance mathématique E(X) et interprétation (gain moyen, rentabilité)
• Variance et écart-type d'une variable aléatoire discrète en contexte technologique
• Modélisation d'une situation industrielle par variable aléatoire et optimisation de gain
• Bilan : Synthèse et méthode sur Probabilités conditionnelles & Arbres pondérés