Définition de la probabilité conditionnelle P_A(B) et calcul dans un tableau

1ère Technologique · Mathématiques 1ère Techno

À retenir

• Formule : P_A(B) = P(A B)/P(A). • Dans un tableau croisé, on prend le nombre de la case (A B) et on le divise par le total de la ligne (ou colonne) A. • La condition A est en indice : P_A(B) se lit 'probabilité de B sachant A'.

Le cours

1. Définition de la probabilité conditionnelle Soit A un événement de probabilité non nulle (P(A) > 0). La probabilité conditionnelle de l'événement B sachant que A est réalisé, notée P_A(B) (ou P(B|A)), est définie par : P_A(B) = P(A B)/P(A) = Effectif de (A B)Effectif de A Changement d'univers de référence : Calculer P_A(B) revient à réduire l'univers à l'ensemble A. On ne regarde plus l'ensemble de la population, mais exclusivement les individus qui vérifient déjà la condition A. Réduction de l'univers : P_A(B) est la part de A B rapportée à tout A Univers Ω A (nouvelle base) A ∩ B P_A(B) = Effectif(A ∩ B) / Effectif(A) Exemple concret : Audit de cartes électroniques Dans une livraison de 500 cartes électroniques : • 200 sont fabriquées par l'usine A, et parmi elles, 8 sont défectueuses (D). • 300 sont fabriquées par l'usine B, et parmi elles, 18 sont défectueuses. Si une carte provient de l'usine A, la probabilité qu'elle soit défectueuse est la probabilité conditionnelle : P_A(D) = 8/200 = 0,04 = 4\,\% (Alors que la probabilité globale sur tout le lot est P(D) = 26/500 = 5,2\,\%.)

Dans ce chapitre

• Vocabulaire des probabilités, réunion, intersection et équiprobabilité de Seconde
• Tableaux à double entrée d'effectifs et fréquences marginales de Seconde
• Expérience aléatoire, univers et calculs de probabilités simples de Seconde
• Définition de la probabilité conditionnelle P_A(B) et calcul dans un tableau
• Construction d'un arbre pondéré et règle des nœuds
• Calcul de la probabilité d'une intersection : P(A B) = P(A) P_A(B)
• Formule des probabilités totales avec une partition de l'univers
• Inversion du conditionnement : diagnostic médical et contrôle qualité en laboratoire
• Indépendance de deux événements : critères et distinction avec incompatibilité
• Variable aléatoire discrète et tableau de loi de probabilité
• Espérance mathématique E(X) et interprétation (gain moyen, rentabilité)
• Variance et écart-type d'une variable aléatoire discrète en contexte technologique
• Modélisation d'une situation industrielle par variable aléatoire et optimisation de gain
• Bilan : Synthèse et méthode sur Probabilités conditionnelles & Arbres pondérés