Construction d'un arbre pondéré et règle des nœuds

1ère Technologique · Mathématiques 1ère Techno

À retenir

• Règle des nœuds : la somme des probabilités issues d'un même sommet vaut toujours 1. • Le deuxième niveau porte impérativement des probabilités CONDITIONNELLES. • Pour trouver la branche manquante, soustrayez à 1 : P_A(B) = 1 - P_A(B).

Le cours

1. Règles de construction d'un arbre pondéré Un arbre pondéré permet de schématiser une succession d'événements et de modéliser facilement les probabilités conditionnelles : • Branches du premier niveau : Portent les probabilités simples P(A) et P(A). • Branches du deuxième niveau : Portent les probabilités conditionnelles P_A(B), P_A(B), P_A(B) et P_A(B). • Règle des nœuds : La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud est toujours égale à 1 : P(A) + P(A) = 1 et P_A(B) + P_A(B) = 1 Arbre pondéré standard à 2 niveaux et règle des nœuds (somme = 1) P(A) P(Ā) A Ā P_A(B) P_A(B̄) B B̄ P_Ā(B) P_Ā(B̄) B B̄ Σ = 1 Exemple concret : Contrôle de chaîne de tri optique Sur une ligne de recyclage, 70\,\% des flacons sont en plastique transparent (T, donc P(T) = 0,70). La règle des nœuds donne immédiatement : P(T) = 1 - 0,70 = 0,30 pour les plastiques colorés. Parmi les flacons transparents, le capteur optique en détecte 95\,\% (P_T(D) = 0,95). La branche complémentaire vaut donc : P_T(D) = 1 - 0,95 = 0,05.

Dans ce chapitre

• Vocabulaire des probabilités, réunion, intersection et équiprobabilité de Seconde
• Tableaux à double entrée d'effectifs et fréquences marginales de Seconde
• Expérience aléatoire, univers et calculs de probabilités simples de Seconde
• Définition de la probabilité conditionnelle P_A(B) et calcul dans un tableau
• Construction d'un arbre pondéré et règle des nœuds
• Calcul de la probabilité d'une intersection : P(A B) = P(A) P_A(B)
• Formule des probabilités totales avec une partition de l'univers
• Inversion du conditionnement : diagnostic médical et contrôle qualité en laboratoire
• Indépendance de deux événements : critères et distinction avec incompatibilité
• Variable aléatoire discrète et tableau de loi de probabilité
• Espérance mathématique E(X) et interprétation (gain moyen, rentabilité)
• Variance et écart-type d'une variable aléatoire discrète en contexte technologique
• Modélisation d'une situation industrielle par variable aléatoire et optimisation de gain
• Bilan : Synthèse et méthode sur Probabilités conditionnelles & Arbres pondérés