Incertitude-type relative et propagation des incertitudes dans un produit ou un quotient en STL

1ère Technologique · Mathématiques STL 1ère

À retenir

• **Définition de l'incertitude relative** : u(X)/X (en \% : 100). • **Règle du produit et du quotient** : Pour Y = X_1 X_2/X_3 : u(Y)/Y = (u(X_1)/X_1)^2 + (u(X_2)/X_2)^2 + (u(X_3)/X_3)^2 • **Règle des puissances** : Si Y = X^p, alors u(Y)/Y = |p| u(X)/X. • **Calcul de l'incertitude absolue** : u(Y) = Y (u(Y)/Y).

Le cours

1. Incertitude-type relative L'incertitude-type relative d'une grandeur X est le quotient u(X)/|X| ; elle est sans unité et s'exprime souvent en pourcentage. Elle permet de comparer des précisions : u = 0,1 g sur 10 g, c'est 1\ \% ; u = 0,1 g sur 500 g, c'est seulement 0,02\ \%. 2. Produit, quotient, puissances Si Y = X_1 X_2 ou Y = X_1/X_2 avec X_1 et X_2 indépendantes, ce sont les carrés des incertitudes relatives qui s'additionnent. Plus généralement, pour Y = k\,X_1^aX_2^b (k constante exacte) : (u(Y)/Y)^2 = a^2(u(X_1)/X_1)^2 + b^2(u(X_2)/X_2)^2 La constante k (comme le 1/2 de E_c = 1/2mv^2) n'ajoute aucune incertitude ; un exposant multiplie l'incertitude relative correspondante. 3. Méthode 1. Calculer la valeur de Y. 2. Calculer chaque incertitude relative u(X_i)/X_i, multipliée par son exposant. 3. Composer en quadrature pour obtenir u(Y)/Y. 4. Revenir à l'incertitude absolue : u(Y) = Y u(Y)/Y. 4. Attention Pour un produit ou un quotient, on ne compose jamais les incertitudes absolues : des grammes et des millilitres ne s'additionnent pas. On passe toujours par les incertitudes relatives.

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