Proportion d'une sous-population et proportions échelonnées

1ère Technologique · Mathématiques 1ère Techno

À retenir

• Proportions échelonnées : Si A B E, alors p = p_1 p_2. • Ne jamais additionner les pourcentages quand les populations de référence sont différentes ! • Convertir impérativement les pourcentages en nombres décimaux avant de les multiplier (60\,\% 40\,\% = 0,60 0,40 = 0,24 = 24\,\%).

Le cours

Proportions échelonnées (Sous-population d'une sous-population) Soient trois ensembles emboîtés A B E. Si la proportion de B dans l'ensemble de référence global E est p_1, et si la proportion de A dans B est p_2, alors la proportion globale de A dans l'ensemble E est égale au produit des deux proportions : p = p_1 p_2 Démonstration algébrique : Par définition des proportions : p_1 = n_B/n_E et p_2 = n_A/n_B. En multipliant membre à membre : p_1 p_2 = n_B/n_E n_A/n_B = n_A/n_E = p_A dans E L'effectif intermédiaire n_B se simplifie naturellement. Ensemble total E (100 %) — nE = 1 200 salariés Sous-ensemble B (p₁ = 45 % de E) A : p₂ = 40 % de B Proportion globale : p = 18 % de E Exemple concret d'application & Résolution pas à pas Mise en situation : Organisation des ressources humaines dans une entreprise de micromécanique. Une usine de fabrication de composants de haute précision compte 1\,200 salariés au total (E). Le bilan social annuel indique que 45\,\% de l'ensemble des salariés sont des techniciens de production (B). Parmi ces techniciens de production, 40\,\% sont affectés au quart de nuit (A). La direction souhaite déterminer : 1. La proportion globale de techniciens de nuit dans l'ensemble du personnel de l'usine. 2. L'effectif réel de salariés travaillant la nuit. Question 1 : Calcul de la proportion globale • Étape 1 (Identifier les ensembles et proportions) : Ensemble global E : ensemble du personnel (n_E = 1\,200). Sous-ensemble intermédiaire B : techniciens de production, de proportion p_1 = 45\,\% = 0,45 dans E. Sous-ensemble final A : techniciens de nuit, de proportion p_2 = 40\,\% = 0,40 dans B. • Étape 2 (Formule des proportions échelonnées) : Comme A B E, la proportion de A dans E est : p = p_1 p_2 • Étape 3 (Calcul numérique) : p = 0,45 0,40 = 0,18 = 18\,\% • Étape 4 (Conclusion) : Les techniciens de nuit représentent 18\,\% du personnel total de l'usine. Question 2 : Calcul de l'effectif réel • Méthode directe globale : n_A = n_E p = 1\,200 0,18 = 216 salariés • Contrôle pas à pas par sous-ensemble : Nombre total de techniciens (B) : 1\,200 0,45 = 540 personnes. Nombre de techniciens de nuit (A) : 540 0,40 = 216 personnes. Les deux démarches donnent rigoureusement le même effectif. Point de vigilance & Piège classique Il ne faut jamais additionner les pourcentages ! Calculer 45\,\% + 40\,\% = 85\,\% est totalement erroné car ces deux taux ne se réfèrent pas à la même base : le premier (45\,\%) s'applique à l'ensemble du personnel, tandis que le second (40\,\%) s'applique exclusivement aux techniciens. Lorsque des ensembles sont emboîtés, les proportions se multiplient systématiquement.

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