Proportions, pourcentages d'une quantité et tableaux de proportionnalité

1ère Technologique · Mathématiques 1ère Techno

À retenir

• Proportion : p = n_A/N, toujours comprise entre 0 et 1. • Pourcentage : p 100\,\%. • Prendre t\,\% d'une valeur revient à la multiplier par t/100.

Le cours

Fondamentaux de Seconde et Automatismes Une proportion compare une sous-population (une partie) à une population de référence (le tout). Si une population globale compte N éléments (N > 0) et qu'une sous-population A en compte n_A (0 n_A N), la proportion (ou fréquence) de A dans la population est le quotient : p = n_A/N Cette proportion p est un nombre compris entre 0 et 1. Elle s'exprime sous trois formes équivalentes : • Fractionnaire : p = 135/4\,500 = 3/100 • Décimale : p = 0,03 • Pourcentage : p = 3\,\% (car 0,03 100 = 3) Règle du prélèvement : Pour calculer l'effectif d'une part représentant un pourcentage t\,\% d'un ensemble de taille N, on multiplie directement par t/100 : Effectif partiel = N t/100 = N p Population totale N = 4 500 unités (100 %) nA = 135 unités Proportion p = nA / N = 135 / 4 500 = 0,03 = 3 % Exemple concret d'application & Résolution pas à pas Mise en situation : Contrôle qualité en laboratoire pharmaceutique. Un lot de production de 4\,500 flacons de solution injectable subit une inspection visuelle automatisée. L'automate détecte 135 flacons présentant une micro-fissure au niveau du scellage. Le protocole de certification impose que le taux de non-conformité du lot soit strictement inférieur à 3,5\,\%. Par ailleurs, sur un second lot de 6\,200 flacons conformes, le laboratoire décide d'effectuer un prélèvement test de 4\,\% pour un contrôle bactériologique approfondi. Question 1 : Le premier lot est-il validé pour la distribution ? • Étape 1 (Identifier les grandeurs) : Population de référence N = 4\,500 ; effectif de la sous-population n_A = 135. • Étape 2 (Formule) : p = n_A/N. • Étape 3 (Calcul numérique) : p = 135/4\,500 = 3 45/100 45 = 3/100 = 0,03 = 3\,\% • Étape 4 (Conclusion) : Le taux de flacons défectueux est de 3\,\%. Comme 3\,\% Question 2 : Combien de flacons seront prélevés pour le contrôle bactériologique ? • Étape 1 (Identifier les grandeurs) : Effectif global N = 6\,200 ; proportion p = 4\,\% = 0,04. • Étape 2 (Formule) : Effectif test = N p. • Étape 3 (Calcul numérique) : Effectif test = 6\,200 0,04 = 6\,200 4/100 = 62 4 = 248 flacons • Étape 4 (Conclusion) : Les techniciens prélèveront exactement 248 flacons pour le contrôle bactériologique. Point de vigilance & Piège classique Une proportion compare toujours la partie au tout. Le numérateur ne peut jamais excéder le dénominateur lorsqu'il s'agit d'une sous-population : on doit obligatoirement obtenir 0 p 1. Si votre calcul donne un résultat supérieur à 1 (ou à 100\,\%), vous avez inversé le numérateur et le dénominateur.

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