Les indices en base 100 : définition, lecture et comparaison de séries

1ère Technologique · Mathématiques 1ère Techno

À retenir

• Formule de l'indice : I_t = y_t/y_0 100. • À la période de référence t_0, l'indice vaut toujours 100. • Un indice I = 124 signifie que la grandeur a augmenté de +24\,\% par rapport à la base. • Un indice I = 82 signifie que la grandeur a diminué de 18\,\% (100 - 82 = 18\,\%).

Le cours

Normaliser et comparer : l'indice en base 100 Pour suivre l'évolution d'une grandeur temporelle ou pour comparer des grandeurs d'unités très différentes (euros, tonnes, kWh), on utilise la notion d'indice. En choisissant une date de référence t_0 (où la valeur de départ est V_0), l'indice en base 100 à une date t_k où la grandeur vaut V_k est donné par : I_k / 0 = V_k/V_0 100 Propriétés fondamentales : • À la date de référence : I_0 / 0 = V_0/V_0 100 = 100. • L'indice est un nombre sans unité. • Lecture immédiate par rapport à la base : Le taux d'évolution entre l'année de base et l'année k se lit directement par la formule : t_k / 0 = (I_k / 0 - 100)\,\% 100 2020 I = 100 2024 (Acier) I = 135 (+35 %) 2024 (Électricité) I = 140 (+40 %) Lecture directe par rapport à la base : t = I - 100 en % Exemple concret d'application & Résolution pas à pas Mise en situation : Comparaison des coûts de deux postes énergétiques et industriels dans une fonderie. Le contrôleur de gestion d'une usine métallurgique étudie l'évolution de deux intrants majeurs entre 2020 et 2024 : • L'aluminium brut (vendu en euros par tonne) : 1\,800 €/t en 2020 puis 2\,430 €/t en 2024. • L'électricité industrielle (vendue en euros par MWh) : 55 €/MWh en 2020 puis 77 €/MWh en 2024. Calculer l'indice en base 100 en 2020 pour chaque poste en 2024, et déterminer quel poste a connu la plus forte augmentation relative. Résolution méthodique : • Étape 1 (Formule de l'indice) : I = V_2024V_2020 100. • Étape 2 (Calcul numérique pour l'aluminium) : I_alu = 2\,430/1\,800 100 = 1,35 100 = 135 Taux d'évolution : t = 135 - 100 = +35\,\%. • Étape 3 (Calcul numérique pour l'électricité) : I_élec = 77/55 100 = 7/5 100 = 1,40 100 = 140 Taux d'évolution : t = 140 - 100 = +40\,\%. • Étape 4 (Conclusion et comparaison) : En valeur absolue brute, l'aluminium a augmenté de +630 €/t alors que l'électricité n'a augmenté que de +22 €/MWh. Cependant, en dynamique relative, c'est l'électricité qui a subi la plus forte inflation (+40\,\% contre +35\,\% pour l'aluminium). Les indices permettent de s'affranchir des unités pour comparer directement les dynamiques. Point de vigilance & Piège classique Un indice est un nombre pur sans unité. On ne doit jamais lui accoler le symbole € ou \% : on écrit I = 135, et non pas « 135 € » ou « 135 % ». L'indice 135 signifie que la grandeur représente 135\,\% de sa valeur de référence, soit une hausse de 35\,\%.

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