Calcul littéral et isolation de variables dans les formules de proportionnalité

1ère Technologique · Mathématiques 1ère Techno

À retenir

• A = B C B = A/C (si C 0). • A/B = C/D A D = B C. • Pour isoler une inconnue au dénominateur, on commence par multiplier les deux membres par ce dénominateur.

Le cours

Automatismes algébriques indispensables En classe de Première Technologique, la maîtrise de l'isolation de variables dans une relation de proportionnalité p = n/N ou dans une égalité de rapports a/b = c/d est un prérequis fondamental. Chercher la part n : n = p N Chercher la proportion p : p = n/N Chercher le total N : N = n/p Égalité des produits en croix : Si a/b = c/d avec b, d 0, alors a d = b c, d'où a = b c/d. n p N × Isoler n : n = p × N Isoler p : p = n / N Isoler N : N = n / p Exemple concret d'application & Résolution pas à pas Mise en situation : Maintenance préventive d'un parc de production d'énergie éolienne. Lors d'une opération de contrôle programmée, 18 éoliennes sont temporairement mises à l'arrêt pour remplacement d'organes d'orientation. Le superviseur technique indique que ces machines immobilisées représentent exactement 15\,\% du parc éolien total en exploitation. Déterminer l'effectif total d'éoliennes du parc (N) et le nombre d'éoliennes en production active. Résolution méthodique : • Étape 1 (Identifier les grandeurs et l'inconnue) : Effectif partiel immobilisé : n = 18 éoliennes. Proportion correspondante : p = 15\,\% = 0,15. Inconnue à déterminer : effectif total N. • Étape 2 (Formule et isolation algébrique) : La relation de base est p = n/N. En multipliant les deux membres par N : p N = n. En divisant par p (p 0) : N = n/p • Étape 3 (Calcul numérique posé) : N = 180,15 = 1815/100 = 18 100/15 = 1\,800/15 = 120 éoliennes • Étape 4 (Conclusion et déduction opérationnelle) : Le parc éolien compte au total 120 éoliennes. Le nombre d'éoliennes en production continue est de 120 - 18 = 102 unités (soit 85\,\% du parc total). Point de vigilance & Piège classique Pour retrouver l'effectif global N, l'erreur fréquente consiste à multiplier n par p (18 0,15 = 2,7 éoliennes, ce qui est absurde !). L'effectif total N doit obligatoirement être supérieur à l'effectif partiel n. Diviser par un nombre décimal inférieur à 1 (0,15) agrandit la quantité et permet de retrouver le total.

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