Bilan : Synthèse et méthode sur Proportions, taux d'évolution et indices

1ère Technologique · Mathématiques 1ère Techno

À retenir

• Multiplier par CM pour avancer, diviser par CM pour reculer. • CM_global = CM_i. • CM' = 1/CM (évolution réciproque). • CM_m = (CM_global)^1/n (évolution moyenne). • I = CM 100.

Le cours

Boîte à outils méthodologique du chapitre 1. Proportions & Sous-populations • Proportion simple : p = n_A/N (0 p 1) • Sous-ensembles emboîtés A B E : p = p_1 p_2 2. Évolutions simples & Réciproque • Taux relatif : t = V_f - V_i/V_i et CM = 1 + t • Valeur finale : V_f = V_i CM | Initiale : V_i = V_f/CM • Réciproque : CM' = 1/CM et t' = CM' - 1 3. Évolutions successives & Taux moyen • CM_global = CM_1 CM_2 CM_k • Taux global : t_global = CM_global - 1 • Taux moyen sur n périodes : CM_m = (CM_global)^1/n 4. Indices en base 100 • Indice en date k : I_k / 0 = V_k/V_0 100 • Taux entre A et B : t_A B = I_B - I_A/I_A • Changement de base : I'_nouv = I_ancI_base 100 Proportions p = n / N Emboîtement : p = p₁ × p₂ Évolution directe CM = 1 + t Vf = Vi × CM Vi = Vf / CM Composition CM = CM₁ × CM₂ Réciproque : 1/CM Moyen : (CM)¹ᐟⁿ Indices 100 I = (V/V₀) × 100 t = (I - 100) % t = (IB - IA)/IA Grand Cas Pratique de Synthèse type Devoir Surveillé Contexte : Transition écologique et gestion énergétique du parc logistique d'une métropole. En 2021, la flotte municipale comprend N = 400 véhicules utilitaires. Le directeur du service Mobilités pilote l'analyse pluriannuelle sur 4 volets stratégiques. Volet A : Proportions échelonnées de la flotte • Énoncé : 60\,\% de la flotte est affectée au service de voirie et propreté urbaine (B). Parmi ces véhicules de voirie, 35\,\% sont équipés d'une motorisation au bio-GNV (A). Déterminer la proportion globale et l'effectif exact de ces véhicules propres dans la flotte totale. • Résolution : Proportion globale : p = p_1 p_2 = 0,60 0,35 = 0,21 = 21\,\%. Effectif réel : n_A = N p = 400 0,21 = 84 véhicules. Contrôle par étapes : 400 0,60 = 240 véhicules de voirie, puis 240 0,35 = 84. Les véhicules bio-GNV représentent 21\,\% de la flotte complète. Volet B : Évolutions successives du budget carburant • Énoncé : La facture énergétique annuelle de la flotte était de 240\,000 € en 2021. En 2022, la flambée des carburants provoque une hausse de +15\,\%. En 2023, la rationalisation des tournées permet une baisse de -8\,\%. Calculer le budget 2023 et le taux d'évolution global sur les deux années. • Résolution : CM_1 = 1 + 0,15 = 1,15 et CM_2 = 1 - 0,08 = 0,92. CM_global = 1,15 0,92 = 1,058. Budget 2023 : V_2023 = 240\,000 1,058 = 253\,920 €. Taux global : t_global = 1,058 - 1 = +0,058 = +5,8\,\% (et non +7\,\% !). Volet C : Taux compensateur (Évolution réciproque) • Énoncé : À la suite de la hausse de +15\,\% subie en 2022, quel pourcentage de réduction aurait-il fallu appliquer pour ramener immédiatement la facture au montant de 2021 ? • Résolution : CM' = 1/CM = 11,15 = 100/115 = 20/23 0,86957. t' = CM' - 1 0,86957 - 1 -0,13043 = -13,04\,\%. Il aurait fallu une réduction d'environ 13,04\,\% (et non 15\,\%) pour compenser la hausse. Volet D : Réduction des émissions et Taux annuel moyen • Énoncé : Les émissions de particules fines sont passées de 180 kg en 2021 (base 100) à 115,2 kg en 2024 (n = 3 ans). Calculer l'indice en 2024 puis le taux de réduction annuel moyen sur 3 ans. • Résolution : Indice 2024 : I_2024 = 115,2180 100 = 0,64 100 = 64. Coefficient global sur 3 ans : CM_global = 115,2180 = 0,64 (baisse globale de -36\,\%). Coefficient moyen annuel : CM_m = (0,64)^1/3 0,86177. Taux moyen annuel : t_m = CM_m - 1 -0,1382 = -13,82\,\% par an. Les 4 erreurs éliminatoires à bannir en devoir 1. Additionner les pourcentages lors d'évolutions successives (+10\,\% puis +10\,\% +20\,\%). 2. Soustraire le pourcentage de la valeur finale pour trouver la valeur initiale (V_i V_f - t\,\% V_f). 3. Confondre points d'indice et taux d'évolution (I_B - I_A ne donne un pourcentage que si I_A = 100). 4. Faire une moyenne arithmétique de taux au lieu d'une moyenne géométrique sur les coefficients multiplicateurs.

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